Coulomb’sches Gesetz
Das elektrische Feld in der Nähe eines sehr langen, gleichmäßig geladenen WireEdit
Wie wir gesehen haben, ist das elektrische Feld um eine Punktladung sphärisch symmetrisch und umgekehrt proportional zu Das Quadrat der Entfernung. Es gibt zwei andere geometrische Konfigurationen, die es wert sind, betrachtet zu werden.
Wenn wir eine „unendlich lange“ lineare Sammlung gleichmäßig verteilter Ladung haben (dh einen langen geladenen Draht), können wir bestimmen das nahe elektrische Feld durch Integration. Die Ladung pro Längeneinheit sei λ {\ displaystyle \ lambda} Coulomb pro Meter.
Integrieren entlang einer Linienladung, um das elektrische Feld zu finden
An einem bestimmten Punkt im Abstand b {\ displaystyle b} vom Draht der Beitrag zum Feld aus einem infinitesimalen Drahtabschnitt der Länge d ℓ {\ displaystyle d \ ell} ergibt sich:
dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}} \}
Die Komponente dieses Vektors, die senkrecht vom Draht weg zeigt, ist:
λ 4 π ϵ R 2 sin θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}
Das Feld zeigt senkrecht vom Draht weg und ist umgekehrt proportional zur ersten Potenz des Trennungsabstands.
Draht muss unendlich lang sein? Nein; Dies ist nur eine Annäherung an die unendliche Grenze. Die Annäherung ist gut, solange man viel näher am Draht ist als die Länge des Drahtes.
Das elektrische Feld in der Nähe einer sehr großen gleichmäßig geladenen EbeneEdit
Eine weitere sehr wichtige geometrische Konfiguration ist eine „unendlich große“ flache Ebene mit gleichmäßiger Ladungsverteilung. Wir teilen die Ebene in viele dünne parallele Streifen der Breite dl. Wenn die Ladungsdichte pro Flächeneinheit der Ebene jeweils σ {\ displaystyle \ sigma} Coulomb pro Quadratmeter beträgt Der Streifen hat eine lineare Ladungsdichte von
λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}
Coulomb pro Meter.
Wir verwenden das Ergebnis der vorhergehender Abschnitt und im Wesentlichen dasselbe Diagramm. Die Streifen laufen jetzt in die Seite / den Bildschirm hinein oder aus dieser heraus, und die Querschnitte der Streifen erscheinen im Diagramm von links nach rechts. Das Feld am interessierenden Punkt ist:
λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}
Die Aufwärtskomponente (symmetrisch zeigt das Gesamtfeld senkrecht aus dem Ebene) ist:
σ 2 π ϵ R sin θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R. }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}
Die gesamte Aufwärtskomponente des Feldes wird durch Integrieren erhalten:
E = σ b 2 π ϵ – ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 | b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}
Das Feld zeigt senkrecht von der Ebene weg und ist unabhängig vom Abstand. Das heißt, es ist unabhängig, solange man so nahe an der Ebene bleibt, dass es nahezu unendlich zu sein scheint.
Anwendung: Das elektrische Feld in einem ParallelplattenkondensatorEdit
Die elektrischen Felder, die durch die beiden Platten eines Parallelplattenkondensators verursacht werden, addieren sich im Bereich zwischen den Platten und subtrahieren im Bereich außerhalb der Platten.
Newtons Gesetze gehen davon aus, dass die Nettokraft die Summe aller Kräfte ist, ma = ΣFj (Summe über j). Da das elektrische Feld E durch definiert ist Coulombs Gesetz über F = qE, die einfachste mögliche Annahme ist, dass das elektrische Feld die Summe der einzelnen elektrischen Felder aufgrund jeder Ladung ist. Dieses Prinzip wird Überlagerung (oder lineare Überlagerung) genannt und gilt zumindest bis zu den Größen, die kleiner als der Atomkern sind. Tatsächlich haben wir implizit eine Überlagerung durch Integration angenommen, um das elektrische Feld aufgrund von Linien- und Oberflächenladungen zu erhalten. Wie in der Figur gezeigt, addieren sich die elektrischen Felder konstruktiv im Raum zwischen den Platten.Sie addieren sich destruktiv (d. H. Sie subtrahieren) außerhalb der beiden Platten und addieren sich zu einem elektrischen Feld von Null. Daher ist das elektrische Feld zwischen den Platten
E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)