Elektrické pole blízko velmi dlouhého rovnoměrně nabitého drátu

Jak jsme viděli, elektrické pole kolem bodového náboje je sféricky symetrické a nepřímo úměrné čtverec vzdálenosti. Existují dvě další geometrické konfigurace, které stojí za to prozkoumat.

Pokud máme „nekonečně dlouhou“ lineární sbírku rovnoměrně rozloženého náboje (tj. vodič s dlouhým nábojem), můžeme určit integraci blízkého elektrického pole. Nechť je náboj na jednotku délky coulombs na λ {\ displaystyle \ lambda}.

V daném bodě ve vzdálenosti b od drátu je příspěvek do pole z nekonečně malého úseku drátu o délce d {\ displaystyle d \ ell} je:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Složka tohoto vektoru směřující kolmo od drátu je:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ vlevo. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ vpravo | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Pole ukazuje kolmo od drátu a je nepřímo úměrné první síle separační vzdálenosti.

Má drát musí být nekonečně dlouhý? Ne; toto je jen přiblížení nekonečnému limitu. Aproximace je dobrá, pokud je člověk mnohem blíže drátu, než je jeho délka.

Elektrické pole poblíž velmi velké rovnoměrně nabité rovinyEdit

Další velmi důležitá geometrická konfigurace je „nekonečně velká“ plochá rovina s rovnoměrným rozložením náboje. Rovinu rozdělíme na mnoho tenkých rovnoběžných pruhů šířky dl. Pokud je hustota náboje na jednotku plochy roviny coulombs na metr čtvereční, každý pás má lineární hustotu náboje

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulomby na metr.

Použijeme výsledek předchozí část a v podstatě stejný diagram. Pruhy nyní běží na nebo ze stránky / obrazovky a průřezy pruhů se na diagramu zobrazují zleva doprava. Pole v bodě zájmu je:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Vzestupná složka (symetrií bude celkové pole ukazovat kolmo na letadlo) je:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Celková vzestupná složka pole se získá integrací:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ vlevo. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Body pole kolmo od roviny a jsou nezávislé na separační vzdálenosti. To znamená, že je nezávislý, pokud člověk zůstane tak blízko k rovině, že se zdá být téměř nekonečný.

Použití: Elektrické pole uvnitř paralelního deskového kondenzátoruEdit

Newtonovy zákony předpokládají, že čistá síla je součtem všech sil, ma = ΣFj (součet nad j). Protože elektrické pole E je definováno prostřednictvím Coulombův zákon přes F = qE, nejjednodušší možný předpoklad je, že elektrické pole je součtem jednotlivých elektrických polí v důsledku každého náboje. Tento princip se nazývá superpozice (nebo lineární superpozice) a platí minimálně do velikostí menších než atomové jádro. Ve skutečnosti jsme implicitně předpokládali superpozici integrací, abychom získali elektrické pole v důsledku liniových a povrchových nábojů. Jak je znázorněno na obrázku, elektrická pole se konstruktivně přidávají v prostoru mezi deskami.Sčítají destruktivně (tj. Odečítají) mimo dvě desky a zvyšují nulové elektrické pole. Proto je elektrické pole mezi deskami

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)