AlgebraEdit

GroupsEdit

Vzhledem ke skupině G {\ displaystyle G} a filtraci existuje přirozený způsob, jak definovat topologii na G {\ displaystyle G}, o které se říká, že je spojena s filtrace. Základem pro tuto topologii je množina všech překladů podskupin, které se objevují při filtraci, tj. Podmnožina G {\ displaystyle G} je definována jako otevřená, pokud se jedná o sjednocení množin tvaru a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, kde a ∈ G {\ displaystyle a \ in G} a n {\ displaystyle n} je přirozené číslo.

Topologie spojená s filtrací na skupině G {\ displaystyle G} dělá G {\ displaystyle G} do topologické skupiny.

Kruhy a moduly: sestupná filtrace Upravit

Vzhledem k prstenu R {\ displaystyle R} a R {\ displaystyle R} -modul M {\ displaystyle M}, sestupná filtrace M {\ displaystyle M} je klesající posloupnost submodulů M n {\ displaystyle M_ {n}}. Jedná se tedy o speciální případ představy o skupinách s další podmínkou, aby podskupiny byly podmoduly. Přidružená topologie je definována jako pro skupiny.

Kruhy a moduly: vzestupná filtraceEdit

SetsEdit

Teorie měřeníEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ znamená {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Přesný rozsah „časů“ bude obvykle záviset na kontextu: množina hodnot pro může být diskrétní nebo spojitá, ohraničená nebo neohraničená. Například

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 nebo {\ mbox {nebo}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

σ-algebra definuje množinu událostí, které lze měřit, což je v kontextu pravděpodobnosti ekvivalentní událostem, které lze diskriminovat, nebo „otázkám, na které lze odpovědět v čase t {\ displaystyle t } „. Proto se často používá filtrace, která představuje změnu v souboru událostí, které lze měřit, prostřednictvím zisku nebo ztráty informací. Typickým příkladem je matematické finance, kde filtrace představuje informace dostupné pokaždé včetně a je stále přesnější (množina měřitelných událostí zůstává stejná nebo se zvyšuje) jako více informací t {\ displaystyle t} od vývoje ceny akcií k dispozici.

Vztah k zastavovacím časům: zastavovací čas sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.