Pythagorean MeansEdit

Aritmetický průměr (AM) Upravit

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ vlevo ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Například aritmetický průměr pěti hodnot: 4, 36, 45, 50, 75 je:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Upravit geometrický průměr (GM)

Geometrický průměr je průměr, který je užitečný pro množiny kladných čísel, které jsou interpretovány podle jejich produktu (jako je tomu v případě míry růstu), a nikoli podle jejich součtu (jako je tomu v případě aritmetického průměru):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Například geometrické mea n z pěti hodnot: 4, 36, 45, 50, 75 je:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ krát 36 \ krát 45 \ krát 50 \ krát 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmonický průměr (HM) Upravit

Harmonický průměr je průměr, který je užitečný pro množiny čísel, která jsou definována ve vztahu k nějaké jednotce, jako v případě rychlosti (tj. vzdálenosti za jednotku času):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ vlevo (\ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Například harmonický průměr z pěti hodnot: 4, 36, 45, 50, 75 je

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Vztah mezi AM, GM a HMEdit

AM, GM a HM uspokojují tyto nerovnosti:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Rovnost platí tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechny prvky daného vzorku stejné.

Statistické umístěníUpravit

V popisných statistikách může být průměr zaměňován s mediánem, módem nebo středním rozsahem, protože kterémukoli z nich lze říkat „průměr“ (formálněji míra centrální tendence). Průměr ze sady pozorování je aritmetický průměr hodnot; u zkosených distribucí však průměr nemusí být nutně stejný jako střední hodnota (medián) nebo nejpravděpodobnější hodnota (režim). Například průměrný příjem je obvykle vychýlen nahoru malým počtem lidí s velmi vysokými příjmy, takže většina má příjem nižší než průměr. Naproti tomu střední příjem je úroveň, na které je polovina populace nižší a polovina výše. Režimový příjem je nejpravděpodobnějším příjmem a upřednostňuje větší počet lidí s nižšími příjmy. Zatímco medián a režim jsou pro takové zkreslené údaje často intuitivnějším měřítkem, mnoho zkosených distribucí je ve skutečnosti nejlépe popsáno jejich průměrem, včetně exponenciálního a Poissonova rozdělení.

Průměr pravděpodobnostní distribuce Upravit

Střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti je dlouhodobá aritmetická průměrná hodnota náhodné proměnné s tímto rozdělením. Pokud je náhodná proměnná označena X {\ displaystyle X}, pak je také známá jako očekávaná hodnota X {\ displaystyle X} (označeno E (X) {\ displaystyle E (X)}). Pro diskrétní rozdělení pravděpodobnosti je průměr dán vztahem, kde součet převezme všechny možné hodnoty náhodné proměnné a ∑ X P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)} P (x) {\ displaystyle P (x)} je funkce pravděpodobnostní hmotnosti. Pro spojitou distribuci je průměrná hodnota ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, kde f (x) { \ displaystyle f (x)} je funkce hustoty pravděpodobnosti. Ve všech případech, včetně těch, ve kterých distribuce není ani diskrétní, ani spojitá, je průměrem Lebesgueův integrál náhodné proměnné s ohledem na její míru pravděpodobnosti.Průměr nemusí existovat nebo být konečný; pro některá rozdělení pravděpodobnosti je průměrná hodnota nekonečná (+ ∞ nebo −∞), zatímco pro ostatní je průměrná hodnota nedefinovaná.

Zobecněné meansEdit

Power meanEdit

zobecněný průměr, známý také jako střední mocnina nebo Hölderova průměr, je abstrakcí kvadratických, aritmetických, geometrických a harmonických prostředků. Je definován pro množinu n kladných čísel xi pomocí

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Výběrem různé hodnoty pro parametr m, získají se následující typy prostředků:

f-meanEdit

To lze dále zobecnit jako zobecněný f-průměr

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ vlevo ({{\ frac {1} {n}} \ součet _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

a opět vhodná volba inverzního f dá

vážený aritmetický průměrEdit

Vážený aritmetický průměr (nebo vážený průměr) se používá, pokud chcete kombinovat průměrné hodnoty z různě velkých vzorků stejné populace:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Zkrácený průměrEdit

Někdy může sada čísel obsahovat odlehlé hodnoty (tj. Hodnoty dat, které jsou mnohem nižší nebo mnohem vyšší než hodnoty ostatní). Odlehlé hodnoty jsou často chybná data způsobená artefakty. V tomto případě lze použít zkrácený průměr. Zahrnuje vyřazení daných částí dat na horním nebo dolním konci, obvykle stejné množství na každém konci, a poté převzetí aritmetického průměru zbývajících dat. Počet odstraněných hodnot je uveden jako procento z celkového počtu hodnot.

Mezikvartilní průměrEdit

Mezikvartilní průměr je konkrétním příkladem zkráceného průměru. Je to prostě aritmetický průměr po odstranění nejnižší a nejvyšší čtvrtiny hodnot.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

za předpokladu, že byly hodnoty uspořádány, takže jde pouze o konkrétní příklad váženého průměru pro konkrétní množinu vah.

Průměr funkceEdit

Za určitých okolností mohou matematici vypočítat průměr z nekonečné (nebo dokonce nespočetné) množiny hodnot. To se může stát při výpočtu střední hodnoty funkce. F (x) {\ displaystyle f (x)} y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} Intuitivně lze střední hodnotu funkce považovat za výpočet plochy pod částí křivky a vydělením délkou této sekce. Toho lze dosáhnout hrubě počítáním čtverců na milimetrovém papíře nebo přesněji integrací. Integrační vzorec je napsán jako:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

V tomto případě je třeba dbát na to, aby integrál konvergoval. Průměr však může být konečný, i když samotná funkce má v některých bodech sklon k nekonečnu.

Průměr úhlů a cyklických veličin Upravit

Úhly, denní doby a další cyklické veličiny vyžadují modulární aritmetika pro přidání a jiné sloučení čísel. Ve všech těchto situacích nebude existovat jedinečný průměr. Například časy hodinu před a po půlnoci jsou ve stejné vzdálenosti od půlnoci i poledne. Je také možné, že neexistuje žádný průměr. Zvažte barevné kolo – pro sadu všech barev neexistuje žádný průměr. V těchto situacích se musíte rozhodnout, který prostředek je nejužitečnější. Můžete to udělat úpravou hodnot před průměrováním nebo použitím specializovaného přístupu pro průměr kruhových veličin.

Fréchet meanEdit

Fréchetský průměr udává způsob pro určení “ střed “distribuce hmoty na povrchu nebo, obecněji, Riemannově potrubí. Na rozdíl od mnoha jiných prostředků je Fréchetský průměr definován v prostoru, jehož prvky nelze nutně sčítat nebo vynásobit skalárem. Někdy je také známý jako Karcherův průměr (pojmenovaný podle Hermanna Karchera).

Swanson “ s ruleEdit

Toto je přiblížení průměru pro mírně zkosenou distribuci. Používá se při průzkumu uhlovodíků a je definováno jako

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

kde P10, P50 a P90 10., 50. a 90. percentil distribuce.

Jiné prostředky Upravit