Sdílené narozeniny
Toto je skvělá hádanka a po cestě se dozvíte hodně o pravděpodobnosti …
V místnosti je 30 lidí … jaká je šance, že dva z nich oslaví narozeniny ve stejný den? Předpokládejme 365 dní v roce.
Někteří lidé si mohou myslet :
„Existuje 30 lidí a 365 dní, takže 30/365 zní dobře.
Což je 30/365 = 0,08 …, takže asi 8% možná?“
Ale ne!
Pravděpodobnost je mnohem vyšší.
Je pravděpodobné, že v této místnosti existují lidé, kteří mají narozeniny.
 |
Protože byste měli srovnávat všechny se všemi ostatními. A s 30 lidmi je to 435 srovnání. Musíte si ale také dávat pozor, abyste nepočítali šance. |
Ukážu vám, jak na to. .. počínaje menším příkladem:
Přátelé a náhodná čísla
Každý z 4 přátel (Alex, Billy, Chris a Dusty) si vybere náhodné číslo mezi 1 a 5. Jaká je šance, že si někdo z nich vybral sam e číslo?
Budeme přidávat naše přátele po jednom …
Za prvé, jaká je šance, že Alex a Billy budou mít stejné číslo?
Billy porovnává své číslo s Alexovým číslem. Pravděpodobnost shody je 1 ku 5.
Jako stromový diagram:
Poznámka : „Ano“ a „Ne“ společně vytvoří 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Pojďme nyní zahrnout Chrisa …
Nyní je ale třeba zvážit dva případy (tzv. „Podmíněná pravděpodobnost“):
- Pokud se Alex a Billy shodovali, má Chris pouze jedno číslo, s nímž se dá srovnat.
- Pokud se ale Alex a Billy neshodovali, má Chris dvě čísla, s nimiž se dá srovnat.
A dostaneme toto:
V horní linii (Alex a Billy se shodli) již máme zápas (šance 1/5).
Ale pro „Alex a Billy neodpovídal „případ jsou dvě čísla, se kterými se Chris mohl shodovat, takže existuje šance 2/5 na shodu Chrisa (proti Alexovi i Billymu). A šance 3/5 na neshodování.
A můžeme vypočítat kombinovanou šanci vynásobením šancí, které jsme k tomu dostali:
Po cestě „Ne, ano“ … existuje šance 4/5 o f Ne, následuje šance 2/5 na Ano:
Sledování cesta „Ne, Ne“ … existuje šance 4/5 Ne, následovaná šancí 3/5 Ne:
Všimněte si také, že součet všech šancí je 1 (dobrá kontrola, že jsme neudělali chybu):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Co se stane, když zahrneme Dusty?
Je to stejná myšlenka, jen další:
Dobře, to jsou všichni 4 přátelé a šance „Ano“ dohromady činí 101/125:
Odpověď: 101/125
A to je pravděpodobný oblíbený trik:
Často je snazší vyřešit případ „Ne“
(a odečíst od 1 pro případ „Ano“)
A nyní můžeme zkusit vypočítat otázku „Sdílené narozeniny“, kterou jsme začali:
Takže pravděpodobnost pro 30 lidí je asi 70%.
A pravděpodobnost pro 23 osob je asi 50%.
A pravděpodobnost pro 57 osob je 99% (almos jisté!)
Simulace
Můžeme to také simulovat pomocí náhodných čísel. Vyzkoušejte to sami, použijte 30 a 365 a stiskněte Přejít. Bude spuštěno tisíc náhodných pokusů a dány výsledky.
Můžete také vyzkoušet další příklady výše, například 4 a 5, které simulují „Přátele a náhodná čísla“.
Skutečně
Až budete příště v místnosti se skupinou lidí, proč nezjistit, zda existují nějaké sdílené narozeniny?