Nezávislé a vzájemně se vylučující neznamená totéž.

Nezávislé události

Dvě události jsou nezávislé, pokud jsou splněny následující podmínky jsou pravdivé:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A B) = P (A) P (B)

Dvě události A a B jsou nezávislé, pokud znalost, že k jedné došlo, neovlivní pravděpodobnost, že dojde k druhé. Například výsledky dvou rolí spravedlivého zemřít jsou nezávislé události. Výsledek prvního hodu nemění pravděpodobnost výsledku druhého hodu. Chcete-li ukázat, že dvě události jsou nezávislé, musíte zobrazit pouze jednu z výše uvedených podmínek.

Pokud dvě události NEJSOU nezávislé, pak říkáme, že jsou závislé.

Je možné provést vzorkování s náhradou nebo bez náhrady.

• S náhradou: Pokud je každý člen populace nahrazen poté, co je vybrán, má tento člen možnost být zvolen více než jednou. Když se vzorkování provádí s nahrazením, pak se události považují za nezávislé, což znamená, že výsledek prvního výběru nezmění pravděpodobnosti druhého výběru.
• Bez náhrady: Když se vzorkování provádí bez náhrady, každá příslušník populace může být vybrán pouze jednou. V tomto případě jsou pravděpodobnosti pro druhý výběr ovlivněny výsledkem prvního výběru. Události jsou považovány za nezávislé nebo nezávislé.

Pokud není známo, zda jsou A a B nezávislé nebo závislé, předpokládejme, že jsou závislé, dokud neukážete opak.

1. Vzorkování s náhradou: Předpokládejme, že vyberete tři karty s náhradou. První karta, kterou si z 52 karet vyberete, je piková Q. Vložíte tuto kartu zpět, zaměníte karty a vyberete druhou kartu z balíčku 52 karet. Je to deset klubů. Vložíte tuto kartu zpět, zaměníte karty a vyberete třetí kartu z balíčku 52 karet. Tentokrát je karta opět Q piky. Vaše tipy jsou {Q piků, deset klubů, Q piků}. Dvakrát jste si vybrali pikové Q. Každou kartu si vyberete z balíčku 52 karet.
2. Vzorkování bez náhrady: Předpokládejme, že si vyberete tři karty bez náhrady. První karta, kterou vyberete z 52 karet, je
   K srdcí. Tuto kartu odložíte stranou a vyberete druhou kartu z 51 karet zbývajících v balíčku. Jsou to tři diamanty. Tuto kartu odložíte stranou a ze zbývajících 50 karet v balíčku vyberete třetí kartu. Třetí karta je piková J. Vaše tipy jsou {K srdcí, tři diamanty, J rýčů}. Protože jste si vybrali karty bez výměny, nemůžete vybrat stejnou kartu dvakrát.

Příklad 1

1. Předpokládejme, že víte, že vybrané karty jsou Q piky, K srdcí a Q piky. Můžete se rozhodnout, zda vzorkování bylo s výměnou nebo bez ní?
   Zobrazit odpověď

   Vzorkování s výměnou

2. Předpokládejme, že víte, že vybrané karty jsou Q piková, K srdcová a J piková. Můžete se rozhodnout, zda vzorkování bylo s výměnou nebo bez ní?
   Zobrazit odpověď

   Ne, nemůžeme určit, zda byl vzorek s nebo bez výměna.

Příklad 2

1. Předpokládejme, že si vyberete čtyři karty, ale žádné karty nevkládejte zpět do balíčku. Vaše karty jsou QS, 1D, 1C, QD.
2. Předpokládejme, že si vyberete čtyři karty a každou kartu vložíte zpět, než si vyberete další kartu. Vaše karty jsou KH, 7D, 6D, KH.

U které z 1 nebo 2 jste ochutnali s náhradou a u které jste ochutnali bez náhrady?

Toto video poskytuje krátkou lekci o zjištění pravděpodobnosti nezávislých událostí.

Vzájemně se vylučující události

A a B jsou vzájemně se vylučující události, pokud k nim nemůže dojít na stejný čas. To znamená, že A a B nesdílejí žádné výsledky a P (A AND B) = 0.

Předpokládejme například, že ukázkový prostor S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Nechť A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} a C = {7, 9}.

Pokud není známo, zda se A a B vzájemně vylučují, předpokládejme, že tomu tak není, dokud neukážete opak. Následující příklady ilustrují tyto definice a pojmy.

Příklad 3

Vyměňte dvě spravedlivé mince. (Toto je experiment.)

Ukázkový prostor je {HH, HT, TH, TT}, kde T = ocasy a H = hlavy. Možné výsledky jsou HH, HT, TH a TT. Výsledky HT a TH jsou různé. HT znamená, že první mince ukazovala hlavy a druhá mince ukazovala ocasy. TH znamená, že první mince ukazovala ocasy a druhá mince ukazovala hlavy.

Příklad 4

Flip dvě spravedlivé mince.Najděte pravděpodobnosti událostí.

1. Nechť F = událost získání maximálně jednoho ocasu (nula nebo jeden ocas).
2. Nechť G = událost získání dvou tváře, které jsou stejné.
3. Nechť H = událost získání hlavy při prvním otočení následovaná hlavou nebo ocasem při druhém otočení.
4. Jsou F a G vzájemně se vylučující ?
5. Nechť J = událost získání všech ocasů. Jsou J a H vzájemně se vylučující?

Toto video poskytuje další dva příklady zjištění pravděpodobnosti vzájemně se vylučujících událostí.

Příklad 5

Vyhoďte jednu spravedlivou šestistrannou kostku. Ukázkový prostor je {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Nechť událost
A = tvář je lichá. Pak A = {1, 3, 5}. Nechť událost B = tvář je sudá. Pak B = {2, 4, 6}.

Příklad 6

Tip: Pokud jsou G a H nezávislé, musíte ukázat JEDNO z následujících:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G A H) = P (G) P ( H)

Jelikož jsou G a H nezávislé, znalost toho, že člověk chodí na hodinu přírodních věd, nic nemění na šanci, že se zúčastní hodiny matematiky. Pokud by tyto dvě události nebyly nezávislé (to znamená, že jsou závislé), pak by znalost toho, že člověk chodí na hodinu přírodních věd, změnila šanci, že si vezme matematiku.

Příklad 7

Nechte událost C = absolvovat kurz angličtiny. Nechť událost D = převzetí třídy řeči.

Předpokládejme, že P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 a P (C AND D) = 0,225.

Odpovědi na následující otázky zdůvodněte číselně.

Příklad 8

V rámečku jsou tři červené karty a pět modrých karet. Červené karty jsou označeny čísly 1, 2 a 3 a modré karty jsou označeny čísly 1, 2, 3, 4 a 5. Karty jsou dobře zamíchány. Natáhnete se do pole (nevidíte do něj) a vytáhnete jednu kartu.

Nechte nakreslit R = červenou kartu, B = modrou kartu, E = kartu s sudým číslem.

Vzorový prostor S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S má osm výsledků.

Příklad 9

V konkrétní třídě na vysoké škole je 60% studentů proužky jsou ženské. Padesát procent všech studentů ve třídě má dlouhé vlasy. Čtyřicet pět procent studentů jsou ženy a mají dlouhé vlasy. Ze studentek má 75% dlouhé vlasy. Nechť F je událost, že student je žena. Nechť L je událost, že student má dlouhé vlasy. Jeden student je vybrán náhodně. Jsou události, že jste žena a máte dlouhé vlasy, nezávislé?

• V tomto příkladu jsou uvedeny následující pravděpodobnosti:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F AND L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretace výsledků

Události, že jste žena a máte dlouhé vlasy, nejsou nezávislé; vědění, že student je žena, mění pravděpodobnost, že student má dlouhé vlasy.

Příklad 10

Data z Gallup. Dostupné online na www.gallup.com/ (přístup 2. května 2013).

Koncept Review

Dvě události A a B jsou nezávislé, pokud znalost, že k jedné došlo, neovlivní šance, že dojde k druhému. Pokud dvě události nejsou nezávislé, pak říkáme, že jsou závislé.

Při vzorkování s nahrazením je každý člen populace nahrazen poté, co je vybrán, takže člen má možnost být vybrán více než jednou a události jsou považovány za nezávislé. Při odběru vzorků bez náhrady může být každý člen populace vybrán pouze jednou a události jsou považovány za nezávislé. Když události nesdílejí výsledky, vzájemně se vylučují.

Kontrola vzorce

Pokud jsou A a B nezávislé, P (A AND B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) a P (B | A) = P (B).

Pokud se A a B vzájemně vylučují, P (A NEBO B) = P (A) + P (B) a P (A AND B) = 0.