Det elektriske felt i nærheden af en meget lang ensartet ladet trådredigering

Som vi har set, er det elektriske felt omkring en punktladning sfærisk symmetrisk og omvendt proportional med afstandens firkant. Der er to andre geometriske konfigurationer, der er værd at se på.

Hvis vi har en “uendeligt lang” lineær samling af ensartet fordelt ladning (dvs. en langopladet ledning), kan vi bestemme det nærliggende elektriske felt ved integration. Lad opladningen pr. længdeenhed være λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs pr. meter.

På et givet punkt i afstand b {\ displaystyle b} fra ledningen er bidraget til feltet fra et uendeligt lille ledningssnit med længden d ℓ {\ displaystyle d \ ell} er:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Komponenten i denne vektor, der peger vinkelret væk fra ledningen, er:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ venstre. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ højre | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Feltet peger vinkelret væk fra ledningen og er omvendt proportionalt med separationsafstandens første effekt.

Gør det ledningen skal være uendeligt lang? Ingen; dette er bare en tilnærmelse til den uendelige grænse. Tilnærmelsen er god, så længe man er meget tættere på ledningen end ledningens længde.

Det elektriske felt i nærheden af et meget stort, ensartet ladet planEdit

En anden meget vigtig geometrisk konfiguration er et “uendeligt stort” fladt plan med ensartet ladningsfordeling. Vi deler planet i mange tynde parallelle strimler med bredden dl. Hvis ladetætheden pr. arealenhed af planet er σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs pr. kvadratmeter strip har en lineær ladningstæthed på

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs per meter.

Vi bruger resultatet af foregående afsnit og i det væsentlige det samme diagram. Strimlerne løber nu ind eller ud af siden / skærmen, og strimlenes “tværsnit vises fra venstre mod højre på diagrammet. Feltet ved det interessepunkt er:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Komponenten opad (ved symmetri vil det samlede felt pege vinkelret ud af plan) er:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Den samlede opadgående komponent i feltet opnås ved at integrere:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ venstre. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Feltet peger vinkelret væk fra planet og er uafhængigt af separationsafstanden. Det vil sige, det er uafhængigt, så længe man forbliver så tæt på planet, at det ser ud til at være næsten uendeligt.

Anvendelse: Det elektriske felt inde i en parallel pladekondensator Rediger

Newtons love antager, at nettokraften er summen af alle kræfter, ma = ΣFj (sum over j). Da det elektriske felt, E, er defineret gennem Coulombs lov via F = qE, den enkleste mulige antagelse er, at det elektriske felt er summen af de enkelte elektriske felter på grund af hver ladning. Dette princip kaldes superposition (eller lineær superposition), og det holder i det mindste ned til størrelserne mindre end atomkernen. Faktisk har vi implicit antaget superposition ved at integrere for at opnå det elektriske felt på grund af linje- og overfladeafgifter. Som vist i figuren tilføjer de elektriske felter konstruktivt i rummet mellem pladerne.De tilføjer destruktivt (dvs. de trækker) uden for de to plader og tilføjer til nul elektrisk felt. Derfor er det elektriske felt mellem pladerne

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)