Uafhængige og gensidigt eksklusive betyder ikke det samme.

Uafhængige begivenheder

To begivenheder er uafhængige, hvis følgende er sande:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A OG B) = P (A) P (B)

To begivenheder A og B er uafhængige, hvis viden om, at den ene opstod, ikke påvirker den chance, den anden sker. For eksempel er resultaterne af to roller i en fair die uafhængige begivenheder. Resultatet af den første kast ændrer ikke sandsynligheden for resultatet af den anden kast. For at vise, at to begivenheder er uafhængige, skal du kun vise en af ovenstående betingelser.

Hvis to begivenheder IKKE er uafhængige, siger vi, at de er afhængige.

Der kan udtages prøveudtagning med erstatning eller uden erstatning.

• Med erstatning: Hvis hvert medlem af en befolkning udskiftes, efter at den er valgt, har dette medlem mulighed for at blive valgt mere end en gang. Når prøveudtagning udføres med udskiftning, betragtes begivenheder som uafhængige, hvilket betyder, at resultatet af det første valg ikke ændrer sandsynlighederne for det andet valg.
• Uden udskiftning: Når stikprøven udføres uden udskiftning, hver medlem af en befolkning kan kun vælges en gang. I dette tilfælde påvirkes sandsynligheden for det andet valg af resultatet af det første valg. Begivenhederne betragtes som afhængige eller ikke uafhængige.

Hvis det ikke vides, om A og B er uafhængige eller afhængige, antager de, at de er afhængige, indtil du kan vise andet.

1. Prøveudtagning med udskiftning: Antag at du vælger tre kort med udskiftning. Det første kort, du vælger ud af de 52 kort, er sparens Q. Du lægger dette kort tilbage, skifter kortene igen og vælger et andet kort fra 52-korts bunken. Det er de ti klubber. Du lægger dette kort tilbage, skifter kortene igen og vælger et tredje kort fra 52-korts bunken. Denne gang er kortet Q igen. Dine valg er {Q af spar, ti af klubber, Q af spar). Du har valgt Q-spaden to gange. Du vælger hvert kort fra 52-kortbunken.
2. Prøveudtagning uden udskiftning: Antag at du vælger tre kort uden udskiftning. Det første kort, du vælger ud af de 52 kort, er hjerternes K. Du lægger dette kort til side og vælger det andet kort fra de 51 kort, der er tilbage i bunken. Det er de tre diamanter. Du lægger dette kort til side og vælger det tredje kort fra de resterende 50 kort i bunken. Det tredje kort er J af spar. Dine valg er {K af hjerter, tre af diamanter, J af spader}. Fordi du har valgt kortene uden erstatning, kan du ikke vælge det samme kort to gange.

Eksempel 1

1. Antag at du ved, at de valgte kort er Q af spader, K af hjerter og Q af spader. Kan du beslutte, om prøvetagningen var med eller uden erstatning?
   Vis svar

   Prøveudtagning med erstatning

2. Antag at du ved, at de valgte kort er Q af spar, K af hjerter og J af spar. Kan du beslutte, om prøveudtagningen var med eller uden erstatning?
   Vis svar

   Nej, vi kan ikke se, om prøveudtagningen var med eller uden udskiftning.

Eksempel 2

1. Antag at du vælger fire kort, men ikke sætter kort tilbage i bunken. Dine kort er QS, 1D, 1C, QD.
2. Antag at du vælger fire kort og sætter hvert kort tilbage, inden du vælger det næste kort. Dine kort er KH, 7D, 6D, KH.

Hvilken af 1 eller 2 prøvede du med udskiftning, og hvilken prøvede du uden udskiftning?

Denne video giver en kort lektion om at finde sandsynligheden for uafhængige begivenheder.

Gensidigt eksklusive begivenheder

A og B er gensidigt eksklusive begivenheder, hvis de ikke kan forekomme på samme tid. Dette betyder, at A og B ikke deler nogen resultater, og P (A OG B) = 0.

Antag for eksempel prøveområdet S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Lad A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} og C = {7, 9}.

Hvis det ikke vides, om A og B udelukker hinanden, skal du antage, at de ikke er det, før du kan vise andet. De følgende eksempler illustrerer disse definitioner og udtryk.

Eksempel 3

Vend to fair mønter. (Dette er et eksperiment.)

Eksempelrummet er {HH, HT, TH, TT} hvor T = haler og H = hoveder. De mulige resultater er HH, HT, TH og TT. Resultaterne HT og TH er forskellige. HT betyder, at den første mønt viste hoveder, og den anden mønt viste haler. TH betyder, at den første mønt viste haler, og den anden mønt viste hoveder.

Eksempel 4

Vend to retfærdige mønter.Find sandsynligheden for begivenhederne.

1. Lad F = begivenheden for at få højst en hale (nul eller en hale).
2. Lad G = begivenheden for at få to ansigter, der er de samme.
3. Lad H = hændelsen for at få et hoved på den første flip efterfulgt af et hoved eller en hale på den anden flip.
4. Er F og G gensidigt eksklusive ?
5. Lad J = begivenheden for at få alle haler. Er J og H gensidigt eksklusive?

Denne video giver yderligere to eksempler på at finde sandsynligheden for begivenheder, der er gensidigt eksklusive.

Eksempel 5

Rul en retfærdig, seks-sidet matrice. Prøveområdet er {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lad begivenhed
A = et ansigt er ulige. Derefter A = {1, 3, 5}. Lad begivenhed B = et ansigt er jævnt. Derefter B = {2, 4, 6}.

Eksempel 6

Tip: Hvis G og H er uafhængige, skal du vise EN af følgende:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G OG H) = P (G) P ( H)

Da G og H er uafhængige, ændrer det ikke chancen for, at han eller hun tager en matematikklasse, at vide at en person tager en naturfagskurs. Hvis de to begivenheder ikke havde været uafhængige (dvs. de er afhængige), ville det at vide, at en person tager en naturfagskurs, ændre chancen for, at han eller hun tager matematik.

Eksempel 7

Lad begivenhed C = tage en engelsk klasse. Lad begivenhed D = tage en tale klasse.

Antag at P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 og P (C OG D) = 0,225.

Ret dine svar på følgende spørgsmål numerisk.

Eksempel 8

I en boks er der tre røde kort og fem blå kort. De røde kort er markeret med numrene 1, 2 og 3, og de blå kort er markeret med numrene 1, 2, 3, 4 og 5. Kortene er blandet godt. Du når ind i kassen (du kan ikke se ind i den) og trækker et kort.

Lad R = rødt kort trækkes, B = blåt kort trækkes, E = kort med lige nummer trækkes.

Prøveområdet S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S har otte resultater.

Eksempel 9

I en bestemt college-klasse er 60% af st udents er kvinder. Halvtreds procent af alle elever i klassen har langt hår. Femogfyrre procent af eleverne er kvinder og har langt hår. Af de kvindelige studerende har 75% langt hår. Lad F være begivenheden, hvor en studerende er kvinde. Lad L være den begivenhed, hvor en studerende har langt hår. En elev vælges tilfældigt. Er begivenhederne med at være kvinde og have langt hår uafhængige?

• Følgende sandsynligheder er angivet i dette eksempel:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F OG L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Fortolkning af resultater

Begivenhederne med at være kvinde og have langt hår er ikke uafhængige; at vide, at en studerende er kvinde, ændrer sandsynligheden for, at en studerende har langt hår.

Eksempel 10

Data fra Gallup. Tilgængelig online på www.gallup.com/ (adgang til 2. maj 2013).

Concept Review

To begivenheder A og B er uafhængige, hvis viden om, at en fandt sted, ikke påvirker chance den anden opstår. Hvis to begivenheder ikke er uafhængige, så siger vi, at de er afhængige.

I prøveudtagning med erstatning erstattes hvert medlem af en befolkning, efter at den er valgt, så medlemmet har mulighed for at blive valgt mere end en gang, og begivenhederne betragtes som uafhængige. Ved prøveudtagning uden udskiftning kan hvert medlem af en befolkning kun vælges én gang, og begivenhederne betragtes ikke som uafhængige. Når begivenheder ikke deler resultater, udelukker de hinanden hinanden.

Formelanmeldelse

Hvis A og B er uafhængige, er P (A OG B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) og P (B | A) = P (B).

Hvis A og B udelukker hinanden, er P (A ELLER B) = P (A) + P (B) og P (A OG B) = 0.