AlgebraEdit

GroupsEdit

Givet en gruppe G {\ displaystyle G} og en filtrering G n {\ displaystyle G_ {n}}, er der en naturlig måde at definere en topologi på G {\ displaystyle G}, der siges at være knyttet til filtrering. Grundlaget for denne topologi er sættet med alle oversættelser af undergrupper, der vises i filtreringen, det vil sige, at en delmængde af G {\ displaystyle G} er defineret til at være åben, hvis det er en sammensætning af sæt af formen a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, hvor a ∈ G {\ displaystyle a \ i G} og n {\ displaystyle n} er et naturligt tal.

Topologien tilknyttet en filtrering på en gruppe G {\ displaystyle G} gør G {\ displaystyle G} til en topologisk gruppe.

Ringe og moduler: faldende filtreringerRediger

Givet en ring R {\ displaystyle R} og en R {\ displaystyle R} -modul M {\ displaystyle M}, en faldende filtrering af M {\ displaystyle M} er en faldende sekvens af undermoduler M n {\ displaystyle M_ {n}}. Dette er derfor et specielt tilfælde af begrebet for grupper med den yderligere betingelse, at undergrupperne er undermoduler. Den tilknyttede topologi er defineret som for grupper.

Ringe og moduler: stigende filtreringerEdit

SetsEdit

Målteori Rediger

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ antyder {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Det nøjagtige interval for “gange” t {\ displaystyle t} afhænger normalt af kontekst: værdisættet for t {\ displaystyle t} kan være diskret eller kontinuerligt, afgrænset eller ubegrænset. F.eks.

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 eller {\ mbox {eller}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

En σ-algebra definerer det sæt hændelser, der kan måles, hvilket i en sandsynlighedssammenhæng svarer til begivenheder, der kan diskrimineres, eller “spørgsmål, der kan besvares på tidspunktet t {\ displaystyle t } “. Derfor bruges en filtrering ofte til at repræsentere ændringen i det sæt begivenheder, der kan måles gennem gevinst eller tab af information. Et typisk eksempel er i matematisk økonomi, hvor en filtrering repræsenterer den tilgængelige information til og med hver gang t {\ displaystyle t}, og er mere og mere præcis (sæt af målbare begivenheder forbliver den samme eller stiger) som mere information fra udviklingen i aktiekursen bliver tilgængelig.

Forhold til stoptider: stoptid sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ i {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.