Pythagorean MeansEdit

Aritmetisk gennemsnit (AM) Rediger

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ venstre ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

For eksempel er det aritmetiske gennemsnit af fem værdier: 4, 36, 45, 50, 75:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometrisk middelværdi (GM) Rediger

Det geometriske gennemsnit er en gennemsnit, der er nyttigt for sæt af positive tal, der fortolkes i henhold til deres produkt (som det er tilfældet med vækstrater) og ikke deres sum (som det er tilfældet med det aritmetiske gennemsnit):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ højre) ^ {\ frac {1} {n}} = \ venstre (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ højre) ^ {\ frac {1} {n}}}

For eksempel det geometriske mea n af fem værdier: 4, 36, 45, 50, 75 er:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ gange 36 \ gange 45 \ gange 50 \ gange 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmonisk middelværdi (HM) Rediger

Det harmoniske gennemsnit er et gennemsnit, der er nyttigt for sæt af tal, der er defineret i forhold til en eller anden enhed, som i tilfælde af hastighed (dvs. afstand pr. tidsenhed):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ venstre (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

For eksempel er det harmoniske gennemsnit af de fem værdier: 4, 36, 45, 50, 75

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Forholdet mellem AM, GM og HMEdit

AM, GM og HM opfylder disse uligheder:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Lighed gælder, hvis og kun hvis alle elementerne i den givne prøve er ens.

Statistisk placeringEdit

I beskrivende statistikker kan gennemsnittet forveksles med medianen, tilstanden eller mellemområdet, da nogen af disse kan kaldes et “gennemsnit” (mere formelt, en mål for central tendens). Gennemsnittet af et sæt observationer er det aritmetiske gennemsnit af værdierne; for skæv fordelinger er middelværdien dog ikke nødvendigvis den samme som den midterste værdi (median) eller den mest sandsynlige værdi (tilstand). For eksempel er gennemsnitlig indkomst typisk skævt opad af et lille antal mennesker med meget store indkomster, så flertallet har en lavere indkomst end gennemsnittet. Derimod er medianindkomsten det niveau, hvor halvdelen af befolkningen er under, og halvdelen er over. Modeindkomst er den mest sandsynlige indkomst og favoriserer det større antal mennesker med lavere indkomster. Mens median og tilstand ofte er mere intuitive mål for sådanne skæve data, er mange skæve fordelinger faktisk bedst beskrevet af deres gennemsnit, inklusive den eksponentielle og Poisson-distributioner.

Gennemsnit af en sandsynlighedsfordeling Rediger

Gennemsnittet af en sandsynlighedsfordeling er den langsigtede aritmetiske gennemsnitsværdi af en tilfældig variabel, der har denne fordeling. Hvis den tilfældige variabel er betegnet med X {\ displaystyle X}, er den også kendt som den forventede værdi af X {\ displaystyle X} (betegnet E (X) {\ displaystyle E (X)}). For en diskret sandsynlighedsfordeling gives gennemsnittet af ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, hvor summen tages over alle mulige værdier af den tilfældige variabel og P (x) {\ displaystyle P (x)} er sandsynlighedsmassefunktionen. For en kontinuerlig fordeling er middelværdien ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, hvor f (x) { \ displaystyle f (x)} er sandsynlighedsdensitetsfunktionen. I alle tilfælde, inklusive dem, hvor fordelingen hverken er diskret eller kontinuerlig, er middelværdien Lebesgue-integralen af den tilfældige variabel med hensyn til dens sandsynlighedsmål.Gennemsnittet behøver ikke eksistere eller være endeligt; for nogle sandsynlighedsfordelinger er middelværdien uendelig (+ ∞ eller −∞), mens for andre er gennemsnittet udefineret. generaliseret middel, også kendt som magt middelværdi eller Hölder middel, er en abstraktion af de kvadratiske, aritmetiske, geometriske og harmoniske midler. Det er defineret for et sæt n positive tal xi ved

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Ved at vælge forskellige værdier for parameteren m opnås følgende typer midler:

f-meanEdit

Dette kan generaliseres yderligere som det generaliserede f-middel

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

og igen vil et passende valg af en inverterbar f give

Vægtet aritmetisk gennemsnit Rediger

Det vægtede aritmetiske gennemsnit (eller det vejede gennemsnit) bruges, hvis man ønsker at kombinere gennemsnitsværdier fra forskellige størrelsesprøver af den samme population:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Afkortet middel Rediger

Nogle gange kan et sæt tal indeholde outliers (dvs. dataværdier, der er meget lavere eller meget højere end andre). Ofte er outliers fejlagtige data forårsaget af artefakter. I dette tilfælde kan man bruge et afkortet gennemsnit. Det indebærer at kassere givne dele af dataene øverst eller nederst, typisk en lige stor mængde i hver ende og derefter tage det aritmetiske gennemsnit af de resterende data. Antallet af fjernede værdier er angivet som en procentdel af det samlede antal værdier.

Interkvartil middelværdi Rediger

Interkvartil middelværdi er et specifikt eksempel på et afkortet gennemsnit. Det er simpelthen det aritmetiske gennemsnit efter fjernelse af den laveste og den højeste kvartal af værdier.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

forudsat at værdierne er ordnet, så er det simpelthen et specifikt eksempel på et vægtet gennemsnit for et specifikt vægtsæt.

Gennemsnit for en funktion Rediger

Under visse omstændigheder kan matematikere beregne et gennemsnit af et uendeligt (eller endda et utalligt) sæt værdier. Dette kan ske ved beregning af middelværdien y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} for en funktion f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivt kan et gennemsnit af en funktion betragtes som at beregne arealet under et snit af en kurve og derefter dividere med længden af det afsnit. Dette kan gøres groft ved at tælle firkanter på grafpapir eller mere præcist ved integration. Integrationsformlen er skrevet som:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

I dette tilfælde skal man sørge for, at integralen konvergerer. Men middelværdien kan være endelig, selvom selve funktionen har tendens til uendelig på nogle punkter.

Middelværdi af vinkler og cykliske størrelser Rediger

Vinkler, tidspunkter på dagen og andre cykliske størrelser kræver modulære aritmetik for at tilføje og på anden måde kombinere tal. I alle disse situationer vil der ikke være et unikt middelværdi. F.eks. Er tidspunkterne en time før og efter midnat lige langt fra både midnat og middagstid. Det er også muligt, at der ikke findes noget middel. Overvej et farvehjul – der er ingen middel til sæt af alle farver. I disse situationer skal du beslutte, hvilket middel der er mest nyttigt. Du kan gøre dette ved at justere værdierne før gennemsnittet eller ved at bruge en specialmetode til gennemsnittet af cirkulære størrelser.

Fréchet meanEdit

Fréchet-gennemsnittet giver en måde at bestemme ” centrum “for en massefordeling på en overflade eller mere generelt Riemannian manifold. I modsætning til mange andre måder er Fréchet-gennemsnittet defineret i et rum, hvis elementer ikke nødvendigvis kan tilføjes eller multipliceres med skalarer. Det kaldes undertiden også som Karcher-middelværdien (opkaldt efter Hermann Karcher).

Swanson ” s ruleEdit

Dette er en tilnærmelse til gennemsnittet for en moderat skæv fordeling. Den bruges i kulbrintefterforskning og defineres som

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

hvor P10, P50 og P90 10., 50. og 90. percentil af fordelingen.

Andre midler Rediger