MATH 1314: College-algebra (Dansk)
Mens lodrette asymptoter beskriver en grafs opførsel, da output bliver meget stort eller meget lille, hjælper vandrette asymptoter med at beskrive en grafs opførsel som input bliver meget stort eller meget lille. Husk på, at et polynomers slutadfærd vil afspejle den for det ledende udtryk. Ligeledes vil en rationel funktions slutadfærd afspejle forholdet mellem de tæller- og nævnerfunktioners førende termer.
Der er tre forskellige resultater, når der kontrolleres for vandrette asymptoter:
Tilfælde 1: Hvis tællerens grad > grad af tæller, er der en vandret asymptote ved y = 0.
Tilfælde 2: Hvis graden af nævneren < tællerens grad én, får vi en skrå asymptote.
Bemærk, at mens grafen for en rationel funktion aldrig vil krydse en lodret asymptote, kan grafen muligvis krydse en vandret eller skrå som ymptote. Selvom grafen for en rationel funktion kan have mange lodrette asymptoter, vil grafen højst have en vandret (eller skrå) asymptote.
Det skal bemærkes, at hvis graden af tælleren er større end graden af nævneren med mere end en, vil slutadfærden af grafen efterligne opførelsen af den reducerede slutadfærdsfraktion. For eksempel, hvis vi havde funktionen
med slutadfærd
grafens slutadfærd ligner den for et jævnt polynom med en positiv ledende koefficient.
En generel note: Horisontale asymptoter af rationelle funktioner
Den vandrette asymptote for en rationel funktion kan være bestemmes ved at se på tællerens og nævnerens grader.
- Tællergrad er mindre end graden af nævneren: vandret asymptote ved y = 0.
- Tællergrad er større end grad af nævner med én: ingen vandret asymptote; skrå asymptote.
- Tællergrad er lig med nævneren: vandret asymptote i forholdet mellem de ledende koefficienter.
Eksempel 9: Identifikation af vandrette og lodrette asymptoter
Find de vandrette og lodrette asymptoter for funktionen
Løsning
Bemærk først, at denne funktion ikke har nogen fælles faktorer, så der er ingen mulige aftagelige diskontinuiteter.
Funktionen har lodrette asymptoter, når nævneren er nul, hvilket får funktionen til at være udefineret. Nævneren vil være nul ved x = 1, -2, tekst {og} 5 \, hvilket indikerer lodrette asymptoter ved disse værdier.
Tælleren har grad 2, mens nævneren har grad 3. Siden graden af nævneren er større end graden af tælleren, vil nævneren vokse hurtigere end tælleren, hvilket får udgangene til at have tendens til nul, da inputene bliver store, og så som xto pm infty, fleft (xright) til 0 \. Denne funktion har en vandret asymptote ved y = 0 \.
Figur 15
En generel note: Aflytninger af rationelle funktioner
En rationel funktion har en y-skæring, når input er nul, hvis funktionen er defineret som nul. En rationel funktion har ikke en y-skæring, hvis funktionen ikke er defineret som nul.
Ligeledes vil en rationel funktion have x-aflytninger ved indgangene, der får output til at være nul. Da en brøkdel kun er lig med nul, når tælleren er nul, kan x-aflytninger kun forekomme, når tælleren for den rationelle funktion er lig med nul.
Prøv det 7
I betragtning af den gensidige kvadrerede funktion, der forskydes til højre 3 enheder og ned 4 enheder, skriv dette som en rationel funktion. Find derefter x– og y-aflytningerne og de vandrette og lodrette asymptoter.
Løsning