Unabhängig und sich gegenseitig ausschließend bedeuten nicht dasselbe.

Unabhängige Ereignisse

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die folgenden sind wahr:

• P (A | B) = P (A)
• P. (B | A) = P (B)
• P (A UND B) = P (A) P (B)

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Wissen, dass eines aufgetreten ist, die Wahrscheinlichkeit, dass das andere auftritt, nicht beeinflusst. Zum Beispiel sind die Ergebnisse von zwei Rollen eines fairen Würfels unabhängige Ereignisse. Das Ergebnis des ersten Wurfs ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis des zweiten Wurfs. Um zu zeigen, dass zwei Ereignisse unabhängig sind, müssen Sie nur eine der oben genannten Bedingungen anzeigen.

Wenn zwei Ereignisse NICHT unabhängig sind, sagen wir, dass sie abhängig sind.

Die Stichprobe kann durchgeführt werden mit Ersatz oder ohne Ersatz.

• Mit Ersatz: Wenn jedes Mitglied einer Population nach der Auswahl ersetzt wird, hat dieses Mitglied die Möglichkeit, mehr als einmal ausgewählt zu werden. Wenn die Probenahme mit Ersetzung durchgeführt wird, werden Ereignisse als unabhängig betrachtet, was bedeutet, dass das Ergebnis der ersten Auswahl die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Auswahl nicht ändert.
• Ohne Ersatz: Wenn die Probenahme ohne Ersetzung erfolgt, jeweils Mitglied einer Bevölkerung kann nur einmal gewählt werden. In diesem Fall werden die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Auswahl durch das Ergebnis der ersten Auswahl beeinflusst. Die Ereignisse gelten als abhängig oder nicht unabhängig.

Wenn nicht bekannt ist, ob A und B unabhängig oder abhängig sind, nehmen Sie an, dass sie abhängig sind, bis Sie etwas anderes anzeigen können.

1. Probenahme mit Ersatz: Angenommen, Sie wählen drei Karten mit Ersatz aus. Die erste Karte, die Sie aus den 52 Karten auswählen, ist das Pik-Q. Sie legen diese Karte zurück, mischen die Karten neu und wählen eine zweite Karte aus dem 52-Karten-Deck. Es sind die zehn Clubs. Sie legen diese Karte zurück, mischen die Karten neu und wählen eine dritte Karte aus dem 52-Karten-Deck. Diesmal ist die Karte wieder das Pik-Q. Ihre Auswahl ist {Q der Pik, zehn der Keulen, Q der Pik}. Sie haben das Pik-Q zweimal ausgewählt. Sie wählen jede Karte aus dem 52-Karten-Deck aus.
2. Probenahme ohne Ersatz: Angenommen, Sie wählen drei Karten ohne Ersatz. Die erste Karte, die Sie aus den 52 Karten auswählen, ist das
   K der Herzen. Sie legen diese Karte beiseite und wählen die zweite Karte aus den 51 im Deck verbleibenden Karten aus. Es sind die drei Diamanten. Sie legen diese Karte beiseite und wählen die dritte Karte aus den verbleibenden 50 Karten im Deck. Die dritte Karte ist das J der Pik. Ihre Auswahl ist {K der Herzen, drei der Diamanten, J der Pik}. Da Sie die Karten ersatzlos ausgewählt haben, können Sie dieselbe Karte nicht zweimal auswählen.

Beispiel 1

1. Angenommen, Sie wissen, dass die ausgewählten Karten Q von sind Pik, K der Herzen und Q der Pik. Können Sie entscheiden, ob die Probenahme mit oder ohne Ersatz erfolgte?
   Antwort anzeigen

   Probenahme mit Ersatz

2. Angenommen, Sie wissen, dass die ausgewählten Karten Q der Pik, K der Herzen und J der Pik sind. Können Sie entscheiden, ob die Stichprobe mit oder ohne Ersatz war?
   Antwort anzeigen

   Nein, wir können nicht sagen, ob die Stichprobe mit oder ohne war Ersatz.

Beispiel 2

1. Angenommen, Sie wählen vier Karten aus, legen aber keine Karten zurück in das Deck. Ihre Karten sind QS, 1D, 1C, QD.
2. Angenommen, Sie wählen vier Karten aus und legen jede Karte zurück, bevor Sie die nächste Karte auswählen. Ihre Karten sind KH, 7D, 6D, KH.

Welche von 1 oder 2 haben Sie mit Ersatz und welche ohne Ersatz probiert?

Dieses Video bietet eine kurze Lektion zum Ermitteln der Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse.

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

A und B schließen sich gegenseitig aus, wenn sie am nicht auftreten können gleiche Zeit. Dies bedeutet, dass A und B keine Ergebnisse gemeinsam haben und P (A UND B) = 0.

Angenommen, der Probenraum S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} und C = {7, 9}.

Wenn nicht bekannt ist, ob sich A und B gegenseitig ausschließen, nehmen Sie an, dass dies nicht der Fall ist, bis Sie etwas anderes anzeigen können. Die folgenden Beispiele veranschaulichen diese Definitionen und Begriffe.

Beispiel 3

Wirf zwei faire Münzen. (Dies ist ein Experiment.)

Der Probenraum ist {HH, HT, TH, TT}, wobei T = Schwänze und H = Köpfe. Die möglichen Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT. Die Ergebnisse HT und TH sind unterschiedlich. Die HT bedeutet, dass die erste Münze Köpfe und die zweite Münze Schwänze zeigte. Das TH bedeutet, dass die erste Münze Schwänze und die zweite Münze Köpfe zeigte.

Beispiel 4

Wirf zwei schöne Münzen.Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

1. Sei F = das Ereignis, höchstens einen Schwanz zu bekommen (null oder einen Schwanz).
2. Sei G = das Ereignis, zwei zu bekommen Gesichter, die gleich sind.
3. Es sei H = das Ereignis, dass beim ersten Flip ein Kopf gefolgt von einem Kopf oder Schwanz beim zweiten Flip angezeigt wird.
4. Schließen sich F und G gegenseitig aus ?
5. Lassen Sie J = das Ereignis, bei dem alle Schwänze erhalten werden. Schließen sich J und H gegenseitig aus?

Dieses Video enthält zwei weitere Beispiele zum Ermitteln der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen.

Beispiel 5

Wirf einen fairen, sechsseitigen Würfel. Der Probenraum ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lassen Sie Ereignis
A = ein Gesicht ist ungerade. Dann ist A = {1, 3, 5}. Lassen Sie Ereignis B = ein Gesicht ist gerade. Dann ist B = {2, 4, 6}.

Beispiel 6

Hinweis: Wenn G und H unabhängig sind, müssen Sie EINEN der folgenden Werte anzeigen:

• P (G | H) = P (G) P (H | G) = P (H) P (G UND H) = P (G) P ( H)

Da G und H unabhängig sind, ändert das Wissen, dass eine Person einen naturwissenschaftlichen Kurs besucht, nichts an der Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Mathematikkurs besucht. Wenn die beiden Ereignisse nicht unabhängig gewesen wären (dh sie sind abhängig), würde das Wissen, dass eine Person an einem naturwissenschaftlichen Kurs teilnimmt, die Wahrscheinlichkeit ändern, dass sie Mathematik nimmt.

Beispiel 7

Lassen Sie Ereignis C = einen Englischkurs belegen. Es sei Ereignis D = Nehmen einer Sprachklasse.

Angenommen, P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 und P (C UND D) = 0,225.

Begründen Sie Ihre Antworten auf die folgenden Fragen numerisch.

Beispiel 8

In einem Feld befinden sich drei rote und fünf blaue Karten. Die roten Karten sind mit den Nummern 1, 2 und 3 gekennzeichnet, und die blauen Karten sind mit den Nummern 1, 2, 3, 4 und 5 gekennzeichnet. Die Karten sind gut gemischt. Sie greifen in die Schachtel (Sie können nicht hinein sehen) und ziehen eine Karte.

Es sei R = rote Karte, B = blaue Karte, E = geradzahlige Karte.

Der Probenraum S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S hat acht Ergebnisse.

Beispiel 9

In einer bestimmten College-Klasse sind 60% der st udents sind weiblich. Fünfzig Prozent aller Schüler in der Klasse haben lange Haare. 45 Prozent der Schüler sind weiblich und haben lange Haare. 75% der Studentinnen haben lange Haare. Sei F der Fall, dass ein Student weiblich ist. Sei L der Fall, dass ein Schüler lange Haare hat. Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. Sind die Ereignisse, weiblich zu sein und lange Haare zu haben, unabhängig?

• Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind in diesem Beispiel angegeben:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F UND L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretation der Ergebnisse

Die Ereignisse, weiblich zu sein und lange Haare zu haben, sind nicht unabhängig. Wenn Sie wissen, dass ein Schüler weiblich ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler lange Haare hat.

Beispiel 10

Daten von Gallup. Online verfügbar unter www.gallup.com/ (abgerufen am 2. Mai 2013).

Konzeptüberprüfung

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Wissen, dass eines aufgetreten ist, die Zufall tritt der andere auf. Wenn zwei Ereignisse nicht unabhängig sind, sagen wir, dass sie abhängig sind.

Bei der Stichprobe mit Ersetzung wird jedes Mitglied einer Population nach der Auswahl ersetzt, sodass das Mitglied die Möglichkeit hat, mehr als ausgewählt zu werden einmal, und die Ereignisse gelten als unabhängig. Bei ersatzlosen Stichproben kann jedes Mitglied einer Population nur einmal ausgewählt werden, und die Ereignisse gelten als nicht unabhängig. Wenn Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben, schließen sie sich gegenseitig aus.

Formelüberprüfung

Wenn A und B unabhängig sind, ist P (A UND B) = P (A) P. (B), P (A | B) = P (A) und P (B | A) = P (B).

Wenn A und B sich gegenseitig ausschließen, ist P (A ODER B) = P (A) + P (B) und P (A UND B) = 0.