Cumpleaños compartidos
Este es un gran rompecabezas, y puedes aprender mucho sobre la probabilidad en el camino …
Hay 30 personas en una habitación … ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos celebren su cumpleaños el mismo día? Suponga 365 días en un año.
Algunas personas pueden pensar :
«Hay 30 personas y 365 días, por lo que 30/365 suena bien.
¿Cuál es 30/365 = 0.08 …, entonces alrededor del 8% tal vez?»
¡Pero no!
La probabilidad es mucho mayor.
En realidad, es probable que haya personas que comparten un cumpleaños en esa sala.
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Porque debes comparar a todos con todos los demás. Y con 30 personas son 435 comparaciones. Pero también debes tener cuidado de no contar demasiado posibilidades. |
Te mostraré cómo hacerlo. .. comenzando con un ejemplo más pequeño:
Amigos y números aleatorios
4 amigos (Alex, Billy, Chris y Dusty) cada uno elige un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos eligiera el sam ¿e número?
Agregaremos a nuestros amigos uno a la vez …
Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Billy tengan el mismo número?
Billy compara su número con el número de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de una coincidencia.
Como diagrama de árbol:
Nota : «Sí» y «No» juntos hacen 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ahora, incluyamos a Chris …
Pero ahora hay dos casos para considerar (llamados «Probabilidad condicional»):
- Si Alex y Billy coincidieron, entonces Chris solo tiene un número para comparar.
- Pero si Alex y Billy no coinciden, Chris tiene dos números para comparar.
Y obtenemos esto:
Para la línea superior (Alex y Billy coincidieron) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).
Pero para el «Alex y Billy no coincidió «caso hay 2 números con los que Chris podría coincidir, por lo que hay una probabilidad de 2/5 de que Chris coincida (contra Alex y Billy). Y una probabilidad de 3/5 de no coincidir.
Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las oportunidades que se necesitaron para llegar allí:
Siguiendo el camino «No, Sí» … hay una probabilidad de 4/5 o f No, seguido de una probabilidad de 2/5 de Sí:
Siguiente la ruta «No, No» … hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 3/5 de No:
Observe también que sumar todas las oportunidades es 1 (una buena prueba de que no hemos cometido un error):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Ahora, ¿qué sucede cuando incluimos Dusty?
Es la misma idea, solo que más:
De acuerdo, son los 4 amigos, y las posibilidades de «Sí» juntas suman 101/125:
Respuesta: 101/125
Y ese es un truco popular en probabilidad:
A menudo es más fácil resolver el caso «No»
(y restar de 1 para el caso «Sí»)
Y ahora podemos intentar calcular la pregunta de «Cumpleaños compartido» con la que comenzamos:
Entonces, la probabilidad para 30 personas es aproximadamente del 70%.
Y la probabilidad para 23 personas es aproximadamente del 50%.
Y la probabilidad para 57 personas es del 99% (casi ¡Seguro!)
Simulación
También podemos simular esto usando números aleatorios. Pruébelo usted mismo aquí, use 30 y 365 y presione Ir. Se ejecutarán mil ensayos aleatorios y se darán los resultados.
También puede probar los otros ejemplos anteriores, como 4 y 5 para simular «Amigos y números aleatorios».
De verdad
La próxima vez que esté en una habitación con un grupo de personas, ¿por qué no averiguar si hay cumpleaños compartidos?