AlgebraEdit

GroupsEdit

Dado un grupo G {\ displaystyle G} y una filtración G n {\ displaystyle G_ {n}}, existe una forma natural de definir una topología en G {\ displaystyle G}, que se dice que está asociada a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todas las traducciones de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de G {\ displaystyle G} se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, donde a ∈ G {\ displaystyle a \ en G} y n {\ displaystyle n} es un número natural.

La topología asociada a una filtración en un grupo G {\ displaystyle G} convierte G {\ displaystyle G} en un grupo topológico.

Anillos y módulos: filtraciones descendentesEditar

Dado un anillo R {\ displaystyle R} y un R {\ displaystyle R} -módulo M {\ displaystyle M}, una filtración descendente de M {\ displaystyle M} es una secuencia decreciente de submódulos M n {\ displaystyle M_ {n}}. Este es, por tanto, un caso especial de la noción de grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define para grupos.

Anillos y módulos: filtraciones ascendentesEditar

SetsEdit

Teoría de medidasEditar

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ Displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implica {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

El rango exacto de los «tiempos» t {\ displaystyle t} generalmente dependerá del contexto: el conjunto de valores para t {\ displaystyle t} puede ser discreto o continuo, limitado o ilimitado. Por ejemplo,

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 o {\ mbox {o}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Un σ-álgebra define el conjunto de eventos que se pueden medir, que en un contexto de probabilidad es equivalente a eventos que se pueden discriminar, o «preguntas que se pueden responder en el tiempo t {\ displaystyle t } «. Por lo tanto, una filtración se usa a menudo para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, a través de la ganancia o pérdida de información. Un ejemplo típico es en finanzas matemáticas, donde una filtración representa la información disponible hasta e incluyendo cada vez t {\ displaystyle t}, y es cada vez más precisa (el conjunto de eventos mensurables permanece igual o aumenta) a medida que más información de la evolución del precio de las acciones se hace disponible.

Relación con los tiempos de parada: tiempo de parada sigma-álgebrasEditar

F τ : = {UNA ∈ F: UNA ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.