Ley de Coulomb
El campo eléctrico cerca de un cable muy largo con carga uniformeEditar
Como hemos visto, el campo eléctrico alrededor de una carga puntual es esféricamente simétrico e inversamente proporcional a el cuadrado de la distancia. Hay otras dos configuraciones geométricas que vale la pena considerar.
Si tenemos una colección lineal «infinitamente larga» de carga uniformemente distribuida (es decir, un cable de carga larga), podemos determinar el campo eléctrico cercano por integración. Sea la carga por unidad de longitud λ {\ displaystyle \ lambda} culombios por metro.
Integrar a lo largo de una carga lineal para encontrar el campo eléctrico
En un punto dado a una distancia b {\ displaystyle b} del cable, la contribución al campo de una sección infinitesimal de cable de longitud d ℓ {\ displaystyle d \ ell} es:
dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}
El componente de ese vector que apunta perpendicularmente lejos del cable es:
λ 4 π ϵ R 2 sin θ re ℓ = λ segundo 4 π ϵ R 3 re ℓ = λ segundo 4 π ϵ (segundo 2 + ℓ 2) 3/2 re ℓ {\ Displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ re ℓ (segundo 2 + ℓ 2) 3/2 = λ segundo 4 π ϵ 1 segundo 2 ℓ segundo 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}
El campo apunta perpendicularmente hacia afuera del cable y es inversamente proporcional a la primera potencia de la distancia de separación.
¿El ¿El cable debe ser infinitamente largo? No; esto es solo una aproximación al límite infinito. La aproximación es buena siempre que uno esté mucho más cerca del cable que la longitud del cable.
El campo eléctrico cerca de un plano muy grande con carga uniforme Editar
Otra configuración geométrica muy importante es un plano «infinitamente grande» con distribución uniforme de carga. Dividimos el plano en muchas tiras delgadas paralelas de ancho dl. Si la densidad de carga por unidad de área del plano es σ {\ displaystyle \ sigma} culombios por metro cuadrado, cada la tira tiene una densidad de carga lineal de
λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}
culombios por metro.
Usamos el resultado de la sección anterior, y esencialmente el mismo diagrama. Las tiras ahora entran o salen de la página / pantalla, y las secciones transversales de las tiras aparecen de izquierda a derecha en el diagrama. El campo en el punto de interés es:
λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}
El componente ascendente (por simetría, el campo total apuntará perpendicularmente fuera del plano) es:
σ 2 π ϵ R sin θ re ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 re ℓ = σ segundo 2 π ϵ (segundo 2 + ℓ 2) re ℓ {\ Displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}
La componente ascendente total del campo se obtiene integrando:
E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ Displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}
El campo apunta perpendicularmente alejándose del plano y es independiente de la distancia de separación. Es decir, es independiente siempre y cuando uno se mantenga tan cerca del plano que parezca casi infinito.
Aplicación: El campo eléctrico dentro de un capacitor de placas paralelasEditar
Los campos eléctricos causados por las dos placas de un condensador de placas paralelas se suman en la región entre las placas y se restan en la región fuera de las placas.
Las leyes de Newton suponen que la fuerza neta es la suma de todas las fuerzas, ma = ΣFj (suma sobre j). Dado que el campo eléctrico, E, se define mediante Según la ley de Coulomb a través de F = qE, la suposición más simple posible es que el campo eléctrico es la suma de los campos eléctricos individuales debidos a cada carga. Este principio se llama superposición (o superposición lineal) y se mantiene al menos hasta los tamaños más pequeños que el núcleo atómico. De hecho, hemos asumido implícitamente la superposición al integrar para obtener el campo eléctrico debido a las cargas lineales y superficiales. Como se muestra en la figura, los campos eléctricos se suman constructivamente en el espacio entre las placas.Suman destructivamente (es decir, restan) fuera de las dos placas y se suman al campo eléctrico cero. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas es
E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)