Medias pitagóricas Editar

Media aritmética (AM) Editar

x ¯ = 1 norte (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Por ejemplo, la media aritmética de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Editar la media geométrica (GM)

La media geométrica es una promedio que es útil para conjuntos de números positivos, que se interpretan en función de su producto (como es el caso de las tasas de crecimiento) y no de su suma (como es el caso de la media aritmética):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Por ejemplo, la mea geométrica n de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ times 36 \ veces 45 \ veces 50 \ veces 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Media armónica (HM) Editar

La media armónica es un promedio que es útil para conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, como en el caso de la velocidad (es decir, distancia por unidad de tiempo):

x ¯ = n (∑ i = 1 norte 1 xi) – 1 {\ Displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Por ejemplo, la media armónica de los cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relación entre AM, GM y HMEdit

AM, GM y HM satisfacen estas desigualdades:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

La igualdad se mantiene si y solo si todos los elementos de la muestra dada son iguales.

Ubicación estadísticaEditar

En estadística descriptiva, la media puede confundirse con la mediana, la moda o el rango medio, ya que cualquiera de estos puede llamarse «promedio» (más formalmente, un medida de tendencia central). La media de un conjunto de observaciones es la media aritmética de los valores; sin embargo, para distribuciones asimétricas, la media no es necesariamente la misma que el valor medio (mediana) o el valor más probable (moda). Por ejemplo, el ingreso medio suele estar sesgado hacia arriba por un pequeño número de personas con ingresos muy altos, de modo que la mayoría tiene un ingreso inferior al promedio. Por el contrario, el ingreso medio es el nivel en el que la mitad de la población está por debajo y la mitad por encima. La modalidad de ingreso es el ingreso más probable y favorece al mayor número de personas con menores ingresos. Si bien la mediana y la moda suelen ser medidas más intuitivas para estos datos asimétricos, muchas distribuciones asimétricas se describen mejor por su media, incluidas las distribuciones exponencial y de Poisson.

Media de una distribución de probabilidadEditar

La media de una distribución de probabilidad es el valor medio aritmético a largo plazo de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Si la variable aleatoria se denota por X {\ displaystyle X}, también se conoce como el valor esperado de X {\ displaystyle X} (denotado E (X) {\ displaystyle E (X)}). Para una distribución de probabilidad discreta, la media viene dada por ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, donde la suma se toma sobre todos los valores posibles de la variable aleatoria y P (x) {\ displaystyle P (x)} es la función de masa de probabilidad. Para una distribución continua, la media es ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, donde f (x) { \ displaystyle f (x)} es la función de densidad de probabilidad. En todos los casos, incluidos aquellos en los que la distribución no es discreta ni continua, la media es la integral de Lebesgue de la variable aleatoria con respecto a su medida de probabilidad.La media no tiene por qué existir o ser finita; para algunas distribuciones de probabilidad, la media es infinita (+ ∞ o −∞), mientras que para otras la media no está definida.

Medias generalizadasEditar

Poder meanEdit

El La media generalizada, también conocida como media de potencia o media de Hölder, es una abstracción de las medias cuadrática, aritmética, geométrica y armónica. Se define para un conjunto de n números positivos xi por

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Al elegir valores diferentes para el parámetro m, se obtienen los siguientes tipos de medias:

f-meanEdit

Esto se puede generalizar aún más como la f-mean generalizada

x ¯ = f – 1 (1 norte ∑ yo = 1 nf (xi)) {\ Displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

y de nuevo una elección adecuada de una f invertible dará

Media aritmética ponderadaEditar

La media aritmética ponderada (o promedio ponderado) se usa si se desea combinar valores promedio de muestras de diferentes tamaños de la misma población:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

meanEdit truncado

A veces, un conjunto de números puede contener valores atípicos (es decir, valores de datos que son mucho más bajos o mucho más altos que el otros). A menudo, los valores atípicos son datos erróneos causados por artefactos. En este caso, se puede utilizar una media truncada. Implica descartar partes determinadas de los datos en el extremo superior o inferior, normalmente una cantidad igual en cada extremo y luego tomar la media aritmética de los datos restantes. El número de valores eliminados se indica como un porcentaje del número total de valores.

Media intercuartilEditar

La media intercuartil es un ejemplo específico de media truncada. Es simplemente la media aritmética después de quitar el cuarto de valores más bajo y más alto.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

suponiendo que los valores se han ordenado, por lo que es simplemente un ejemplo específico de una media ponderada para un conjunto específico de pesos.

Media de una funciónEditar

En algunas circunstancias, los matemáticos pueden calcular la media de un conjunto de valores infinito (o incluso incontable). Esto puede suceder al calcular el valor medio y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} de una función f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivamente, se puede pensar que la media de una función calcula el área debajo de una sección de una curva y luego la divide por la longitud de esa sección. Esto se puede hacer de forma burda contando cuadrados en papel cuadriculado, o más precisamente mediante integración. La fórmula de integración se escribe como:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

En este caso, se debe tener cuidado para asegurarse de que la integral converja. Pero la media puede ser finita incluso si la función tiende a infinito en algunos puntos.

Media de ángulos y cantidades cíclicasEditar

Los ángulos, las horas del día y otras cantidades cíclicas requieren módulos aritmética para sumar y combinar números. En todas estas situaciones, no habrá un medio único. Por ejemplo, las horas una hora antes y después de la medianoche son equidistantes a la medianoche y al mediodía. También es posible que no exista ningún medio. Considere una rueda de colores: no hay significado para el conjunto de todos los colores. En estas situaciones, debe decidir qué medio es más útil. Puede hacer esto ajustando los valores antes de promediar, o usando un enfoque especializado para la media de cantidades circulares.

Fréchet meanEdit

La media de Fréchet proporciona una manera de determinar el » centro «de una distribución de masa en una superficie o, más generalmente, variedad de Riemann. A diferencia de muchos otros medios, la media de Fréchet se define en un espacio cuyos elementos no necesariamente se pueden sumar o multiplicar por escalares. A veces también se conoce como la media de Karcher (llamada así por Hermann Karcher).

Swanson » s ruleEdit

Esta es una aproximación a la media para una distribución moderadamente sesgada. Se utiliza en la exploración de hidrocarburos y se define como

m = 0.3 P 10 + 0.4 P 50 + 0.3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

donde P10, P50 y P90 percentiles 10, 50 y 90 de la distribución.

Otros mediosEditar