Independientes y mutuamente excluyentes no significan lo mismo.

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si lo siguiente son verdaderas:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A Y B) = P (A) P (B)

Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ocurrió no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de dos roles de un dado justo son eventos independientes. El resultado de la primera tirada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda tirada. Para mostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores.

Si dos eventos NO son independientes, entonces decimos que son dependientes.

Se puede realizar un muestreo con reemplazo o sin reemplazo.

• Con reemplazo: si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se realiza con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera selección no cambiará las probabilidades de la segunda selección.
• Sin reemplazo: cuando el muestreo se realiza sin reemplazo, cada miembro de una población puede ser elegido una sola vez. En este caso, las probabilidades de la segunda selección se ven afectadas por el resultado de la primera selección. Los eventos se consideran dependientes o no independientes.

Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, asuma que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario.

1. Muestreo con reemplazo: suponga que elige tres tarjetas con reemplazo. La primera carta que eliges de las 52 cartas es la Q de espadas. Devuelve esta carta, baraja las cartas y elige una segunda carta del mazo de 52 cartas. Es el diez de tréboles. Devuelve esta carta, vuelve a barajar las cartas y elige una tercera carta del mazo de 52 cartas. Esta vez, la carta es la Q de espadas nuevamente. Tus selecciones son {Q de espadas, diez de tréboles, Q de espadas}. Has elegido la Q de espadas dos veces. Usted elige cada carta de la baraja de 52 cartas.
2. Muestreo sin reemplazo: Suponga que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que eliges de las 52 cartas es la
   K de corazones. Dejas esta carta a un lado y escoges la segunda carta de las 51 cartas que quedan en la baraja. Es el tres de diamantes. Dejas esta carta a un lado y escoges la tercera carta de las 50 cartas restantes del mazo. La tercera carta es la J de espadas. Tus selecciones son {K de corazones, tres de diamantes, J de espadas}. Debido a que ha elegido las tarjetas sin reemplazo, no puede elegir la misma tarjeta dos veces.

Ejemplo 1

1. Suponga que sabe que las tarjetas elegidas son Q de espadas, K de corazones y Q de espadas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo?
   Mostrar respuesta

   Muestreo con reemplazo

2. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de espadas, K de corazones y J de espadas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo?
   Mostrar respuesta

   No, no podemos decir si el muestreo fue con o sin reemplazo.

Ejemplo 2

1. Suponga que elige cuatro cartas, pero no devuelve ninguna carta a la baraja. Sus cartas son QS, 1D, 1C, QD.
2. Suponga que elige cuatro cartas y devuelve cada una antes de elegir la siguiente. Tus tarjetas son KH, 7D, 6D, KH.

¿Cuál de 1 o 2 tomaste con reemplazo y cuál sin reemplazo?

Este video proporciona una breve lección sobre cómo encontrar la probabilidad de eventos independientes.

Eventos mutuamente excluyentes

A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en el Mismo tiempo. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P (A AND B) = 0.

Por ejemplo, suponga que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} y C = {7, 9}.

Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, asuma que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario. Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos.

Ejemplo 3

Lanza dos monedas. (Este es un experimento).

El espacio muestral es {HH, HT, TH, TT} donde T = cruz y H = cara. Los posibles resultados son HH, HT, TH y TT. Los resultados HT y TH son diferentes. El HT significa que la primera moneda mostró cara y la segunda moneda mostró cruz. El TH significa que la primera moneda mostró cruz y la segunda moneda mostró cara.

Ejemplo 4

Lanza dos monedas limpias.Encuentre las probabilidades de los eventos.

1. Sea F = el evento de obtener como máximo una cola (cero o una cola).
2. Sea G = el evento de obtener dos caras que son iguales.
3. Sea H = el evento de obtener una cara en el primer lanzamiento seguido de una cara o cola en el segundo lanzamiento.
4. Son F y G mutuamente excluyentes ?
5. Sea J = el evento de obtener todas las colas. ¿J y H son mutuamente excluyentes?

Este video proporciona dos ejemplos más de cómo encontrar la probabilidad de eventos que son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 5

Lanza un dado justo de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea el evento
A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Sea el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}.

Ejemplo 6

Sugerencia: Si G y H son independientes, entonces debe mostrar UNO de los siguientes:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G Y H) = P (G) P ( H)

Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de matemáticas. Si los dos eventos no hubieran sido independientes (es decir, dependientes), saber que una persona está tomando una clase de ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando matemáticas.

Ejemplo 7

Deje que el evento C = tomar una clase de inglés. Sea el evento D = tomando una clase de discurso.

Suponga que P (C) = 0.75, P (D) = 0.3, P (C | D) = 0.75 y P (C AND D) = 0.225.

Justifique numéricamente sus respuestas a las siguientes preguntas.

Ejemplo 8

En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco tarjetas azules. Las tarjetas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las tarjetas azules están marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las tarjetas están bien mezcladas. Se mete la mano en la caja (no se puede ver dentro) y se saca una carta.

Deje que R = se saca la carta roja, B = se saca la carta azul, E = se saca la carta de número par.

El espacio muestral S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S tiene ocho resultados.

Ejemplo 9

En una clase universitaria en particular, el 60% del st Los dientes son femeninos. El cincuenta por ciento de todos los estudiantes de la clase tienen el pelo largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el pelo largo. De las alumnas, el 75% tiene el pelo largo. Sea F el evento de que un estudiante sea mujer. Sea L el evento de que un estudiante tenga el pelo largo. Un estudiante es elegido al azar. ¿Los eventos de ser mujer y tener cabello largo son independientes?

• En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades:
• P (F) = 0.60; P (L) = 0.50
• P (F Y L) = 0.45
• P (L | F) = 0.75

Interpretación de los resultados

Los eventos de ser mujer y tener cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el pelo largo.

Ejemplo 10

Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013).

Revisión del concepto

Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ocurrió no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, entonces decimos que son dependientes.

En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se reemplaza después de que se selecciona, de modo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población puede elegirse solo una vez y los eventos se consideran no independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, se excluyen mutuamente.

Revisión de fórmulas

Si A y B son independientes, P (A AND B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) y P (B | A) = P (B).

Si A y B son mutuamente excluyentes, P (A OR B) = P (A) + P (B) y P (A Y B) = 0.