Sähkökenttä lähellä hyvin pitkää tasaisesti ladattua johdinmuokkausta

Kuten olemme nähneet, pistelatauksen ympärillä oleva sähkökenttä on pallomaisesti symmetrinen ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliö. On kaksi muuta geometristä kokoonpanoa, jotka kannattaa tarkastella.

Jos meillä on ”äärettömän pitkä” lineaarinen kokoelma tasaisesti jakautunutta varausta (ts. pitkä varautunut johto), voimme määrittää läheinen sähkökenttä integroimalla. Olkoon pituuden yksikkövaraus λ {\ displaystyle \ lambda} coulombia metriä kohti.

Tietyssä pisteessä etäisyydellä b {\ displaystyle b} langasta, panos kenttään äärettömän pienestä langan osasta, jonka pituus on d ℓ {\ displaystyle d \ ell} on:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Sen vektorin komponentti, joka osoittaa kohtisuoraan johdosta, on:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ vasen. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}}} \ oikea | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Kenttä osoittaa kohtisuorassa johdosta ja on kääntäen verrannollinen erotusetäisyyden ensimmäiseen tehoon.

Onko langan täytyy olla äärettömän pitkä? Ei; tämä on vain likiarvo rajattomaan rajaan. Arviointi on hyvä, kunhan se on paljon lähempänä johtoa kuin langan pituus.

Sähkökenttä lähellä erittäin suurta tasaisesti ladattua PlaneEdit

Toinen erittäin tärkeä geometrinen kokoonpano on ”äärettömän suuri” tasainen tasainen varauksen jakauma. Jaamme tason moniin ohuisiin yhdensuuntaisiin kaistaleisiin, joiden leveys on dl. Jos varaustiheys tason pinta-alayksikköä kohti on σ {\ displaystyle \ sigma} kulonoita neliömetriä kohti nauhan lineaarinen lataustiheys on

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

kulmahampaita metriä kohti.

Käytämme nauhat ovat nyt juoksemassa sivulle / näytölle tai sieltä pois, ja nauhojen ”poikkileikkaukset näkyvät vasemmalta oikealle kaaviossa. Kiinnostavan paikan kenttä on:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Ylöspäin oleva komponentti (symmetrisesti kokonaiskenttä osoittaa kohtisuoraan taso) on:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Kentän ylöspäin suuntautuva kokonaiskomponentti saadaan integroimalla:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ vasemmalle. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}}

Kenttä osoittaa kohtisuoraan tasosta poispäin ja on riippumaton etäisyydestä etäisyydestä. Eli se on riippumaton niin kauan kuin pysytään niin lähellä tasoa, että se näyttää olevan lähes ääretön.

Sovellus: Sähkökenttä rinnakkaislevykondensaattorin sisälläMuokkaa

Newtonin lait olettavat, että nettovoima on kaikkien voimien summa, ma = ΣFj (summa yli j). Koska sähkökenttä E määritetään Coulombin laki F = qE: n kautta, yksinkertaisin mahdollinen oletus on, että sähkökenttä on kunkin varauksen aiheuttamien yksittäisten sähkökenttien summa. Tätä periaatetta kutsutaan superpositioksi (tai lineaariseksi superpositioksi), ja se pitää ainakin ytimen pienempiä kokoja. Itse asiassa olemme implisiittisesti olettaneet päällekkäisyyden integroimalla sähkökentän saamiseksi johto- ja pintamaksujen vuoksi. Kuten kuvassa on esitetty, sähkökentät lisääntyvät rakentavasti levyjen välisessä tilassa.Ne lisäävät destruktiivisesti (ts. Vähentävät) kahden levyn ulkopuolelle ja lisäävät nollan sähkökentän. Siksi levyjen välinen sähkökenttä on

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)