Pythagorean MeansEdit

Aritmeettinen keskiarvo (AM) Muokkaa

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ vasen ( \ summa _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ oikea) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Esimerkiksi viiden arvon: 4, 36, 45, 50, 75 aritmeettinen keskiarvo on:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometrinen keskiarvo (GM) Muokkaa

Geometrinen keskiarvo on keskiarvo, joka on hyödyllinen positiivisten lukujen ryhmille, jotka tulkitaan niiden tuloksen (kuten kasvunopeuksien tapauksessa) eikä summan (kuten aritmeettisen keskiarvon tapauksessa) mukaan:

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ vasen (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ oikea) ^ {\ frac {1} {n}} = \ vasen (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ oikea) ^ {\ frac {1} {n}}}

Esimerkiksi geometrinen mitat n viidestä arvosta: 4, 36, 45, 50, 75 on:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ kertaa 36 \ kertaa 45 \ kertaa 50 \ kertaa 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmoninen keskiarvo (HM) Muokkaa

Harmoninen keskiarvo on keskiarvo, joka on hyödyllinen numerosarjoille, jotka määritetään suhteessa johonkin yksikköön, kuten nopeuden tapauksessa (ts. etäisyys aikayksikköä kohti):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ vasen (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ oikea) ^ {- 1}}

Esimerkiksi viiden arvon: 4, 36, 45, 50, 75 harmoninen keskiarvo on

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

AM: n, GM: n ja HMEditin välinen suhde

AM, GM ja HM tyydyttävät nämä eriarvoisuudet:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Yhtälö pätee vain ja vain, jos annetun otoksen kaikki elementit ovat samat.

Tilastollinen sijaintiMuokkaa

Kuvailevissa tilastoissa keskiarvo voidaan sekoittaa mediaaniin, tilaan tai keskitasoon, koska mitä tahansa näistä voidaan kutsua ”keskiarvoksi” (muodollisemmin keskitaipumuksen mitta). Havaintoryhmän keskiarvo on arvojen aritmeettinen keskiarvo; vinojen jakaumien keskiarvo ei kuitenkaan välttämättä ole sama kuin keskiarvo (mediaani) tai todennäköisin arvo (tila). Esimerkiksi keskimääräinen tulo on yleensä vääristynyt ylöspäin pienellä määrällä ihmisiä, joilla on erittäin suuret tulot, joten suurimmalla osalla tulot ovat keskimääräistä pienemmät. Sitä vastoin mediaanitulo on taso, jolla puolet väestöstä on alle ja puolet yli. Tilatulo on todennäköisin tulo, ja se suosii suurempaa määrää ihmisiä, joilla on pienemmät tulot. Vaikka mediaani ja tila ovat usein intuitiivisempia mittoja tällaiselle vääristyneelle tiedolle, monia vinoja jakaumia kuvataan itse asiassa parhaiten niiden keskiarvolla, mukaan lukien eksponentti- ja Poisson-jakaumat.

Todennäköisyysjakauman keskiarvoEdit

Todennäköisyysjakauman keskiarvo on kyseisen jakauman omaavan satunnaismuuttujan pitkän aikavälin aritmeettinen keskiarvo. Jos satunnaismuuttujaa merkitään X {\ displaystyle X}, se tunnetaan myös nimellä X {\ displaystyle X} (merkitty E (X) {\ displaystyle E (X)}) odotettuna arvona. Diskreettiin todennäköisyysjakaumaan keskiarvo saadaan by x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ summa xP (x)}, jossa summa otetaan huomioon kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan ja P (x) {\ displaystyle P (x)} on todennäköisyysmassafunktio. Jatkuvan jakauman keskiarvo on ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, missä f (x) { \ displaystyle f (x)} on todennäköisyystiheysfunktio. Kaikissa tapauksissa, mukaan lukien ne, joissa jakauma ei ole erillinen eikä jatkuva, keskiarvo on satunnaismuuttujan Lebesgue-integraali sen todennäköisyysmittaan nähden.Keskiarvon ei tarvitse olla olemassa tai sen on oltava rajallinen; joillekin todennäköisyysjakaumille keskiarvo on ääretön (+ ∞ tai −∞), kun taas toisille keskiarvo on määrittelemätön.

Generalized meansEdit

Tehon keskiarvoMuokkaa

yleistetty keskiarvo, joka tunnetaan myös nimellä tehokeskiarvo tai Hölderin keskiarvo, on abstrakti neliö-, aritmeettinen, geometrinen ja harmoninen keskiarvo. Se määritellään n positiivisen luvun xi joukolle

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Valitsemalla parametrille m eri arvot saadaan seuraavan tyyppiset keskiarvot:

f-meanEdit

Tätä voidaan yleistää edelleen yleistettynä f-keskiarvona

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ vasen ({{\ frac {1} {n}} \ summa _ { i = 1} ^ {n} {f \ vasen (x_ {i} \ oikea)}} \ oikea)}

ja jälleen sopiva valinta kääntyväksi f antaa

painotettu aritmeettinen keskiarvoMuokkaa

Painotettua aritmeettista keskiarvoa (tai painotettua keskiarvoa) käytetään, jos halutaan yhdistää saman populaation erikokoisten otosten keskiarvot:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Lyhennetty meanEdit

Joskus joukko numeroita voi sisältää poikkeavuuksia (eli data-arvoja, jotka ovat paljon pienempiä tai paljon suurempia kuin muut). Usein poikkeamat ovat virheellisiä tietoja, jotka johtuvat esineistä. Tässä tapauksessa voidaan käyttää lyhennettyä keskiarvoa. Siihen sisältyy tietyn osan tietojen hävittäminen ylä- tai alaosassa, tyypillisesti sama määrä kummassakin päässä, ja sitten otetaan jäljellä olevan datan aritmeettinen keskiarvo. Poistettujen arvojen lukumäärä ilmoitetaan prosentteina arvojen kokonaismäärästä.

Kvartiilien välinen keskiarvo Muokkaa

Kvartiilien keskiarvo on spesifinen esimerkki typistetystä keskiarvosta. Se on yksinkertaisesti aritmeettinen keskiarvo pienimmän ja suurimman neljänneksen poistamisen jälkeen.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ summa _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

olettaen, että arvot on järjestetty, niin on yksinkertainen esimerkki painotetusta keskiarvosta tietylle painosarjalle.

FunktionEdit keskiarvo

Joissakin olosuhteissa matemaatikot voivat laskea keskimääräisen äärettömän (tai jopa lukemattoman) arvojoukon. Näin voi käydä laskettaessa funktion f (x) {\ displaystyle f (x)} keskiarvo y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}}. Intuitiivisesti funktion keskiarvon voidaan ajatella laskevan käyrän osan alla olevan pinta-alan ja jakamalla sen sitten kyseisen osan pituudella. Tämä voidaan tehdä karkeasti laskemalla neliöt graafipaperille tai tarkemmin integroimalla. Integraatiokaava kirjoitetaan seuraavasti:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

Tässä tapauksessa on varottava, että integraali lähentyy. Mutta keskiarvo voi olla rajallinen, vaikka toiminto itsessään taipuu äärettömään joissakin pisteissä.

Kulmien ja syklisten suureiden keskiarvoEdit

Kulmat, vuorokaudenajat ja muut suhdeluvut edellyttävät modulaarista aritmeettinen lisätä ja muuten yhdistää numeroita. Kaikissa näissä tilanteissa ei ole ainutlaatuista keskiarvoa. Esimerkiksi tunti ennen keskiyötä ja sen jälkeen ovat yhtä kaukana keskiyöstä ja keskipäivään. On myös mahdollista, että mitään keinoa ei ole. Harkitse väripyörää – kaikkien värien joukolle ei ole merkitystä. Näissä tilanteissa sinun on päätettävä, mikä tarkoittaa eniten hyötyä. Voit tehdä tämän säätämällä arvoja ennen keskiarvon laskemista tai käyttämällä erityistä lähestymistapaa ympyrämäärien keskiarvoon.

Fréchet meanEdit

Fréchet-keskiarvo antaa tavan määrittää ” massan jakautumisen keskipiste pinnalla tai yleisemmin Riemannin pakosarjassa. Toisin kuin monet muut keinot, Fréchet-keskiarvo määritetään avaruudessa, jonka elementtejä ei välttämättä voida lisätä yhteen tai kertoa skalaareilla. Se tunnetaan joskus myös nimellä Karcher-keskiarvo (nimetty Hermann Karcherin mukaan).

Swanson ” s ruleEdit

Tämä on likimääräinen keskivirheellisen jakauman keskiarvo. Sitä käytetään hiilivetyjen etsinnässä ja se määritellään seuraavasti:

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

missä P10, P50 ja P90 jakelun 10., 50. ja 90. prosenttipiste.

Muut keinotMuokkaa