Kurtoosin määritelmä

Kuten vinous, kurtoosi on tilastollinen mitta, jota käytetään kuvaamaan jakaumaa. Vaikka vinous erottaa ääriarvot yhdessä hännässä toisen suhteen, kurtosis mittaa ääriarvot kummassakin hännässä. Jakautumisilla, joilla on suuri kurtoosi, on hännän tietoja, jotka ylittävät normaalijakauman hännät (esim. Viisi tai enemmän standardipoikkeamia keskiarvosta). Alhaisen kurtoosin jakaumilla on lopputietoja, jotka ovat yleensä vähemmän äärimmäisiä kuin normaalijakauman hännät.

Sijoittajille korkean kurtoosin tuottojakauma tarkoittaa, että sijoittaja kokee satunnaisia äärimmäisiä tuotto (joko positiivinen tai negatiivinen), äärimmäisempi kuin tavallinen + tai – kolme keskihajontaa keskiarvosta, jonka ennustaa tuottojen normaali jakauma. Tätä ilmiötä kutsutaan kurtoosiriskiksi.

Kurtoosin hajottaminen

Kurtoosi on jakauman hännän suhteellisen yhdistetyn painon mitta jakauman keskipisteeseen. Kun histogrammilla piirretään suunnilleen normaalin tiedon joukko, se näyttää kellohuipun ja suurimman osan tiedoista + tai – keskiarvon kolmen keskihajonnan sisällä. Kuitenkin, kun korkea kurtoosi esiintyy, hännät ulottuvat kauempana kuin normaalin kellokäyrän jakauman + tai – kolme keskihajontaa.

Kurtoosi sekoitetaan toisinaan jakelun huipentuman mittariin. Kurtoosi on kuitenkin mittaa, joka kuvaa jakauman hännän muotoa suhteessa sen kokonaismuotoon. Jakautuminen voi olla äärettömän huipulla matalalla kurtoosilla, ja jakauma voi olla täysin tasainen ja ääretön kurtoosi. Siksi kurtoosi mittaa ”hännän”, ei ”huipun.”

Kurtoosityypit

Joukko voi näyttää kolme kurtoosiluokkaa tietoja. Kaikkia kurtoosin mittoja verrataan normaaliin normaalijakaumaan tai kellokäyrään.

Kurtoosin ensimmäinen luokka on mesokurtinen jakauma. Tällä jakaumalla on kurtosisstatistiikka, joka on samanlainen kuin normaalijakaumalla, eli jakauman ääriarvo on samanlainen kuin normaalijakauman.

Toinen luokka on leptokurtinen jakautuminen. Mikä tahansa leptokurtinen jakauma näyttää suuremman kurtoosin kuin mesokurtinen jakauma. Tämän jakauman ominaisuudet ovat pitkät hännät (poikkeavat). Etuliite ”lepto-” tarkoittaa ”laiha”, mikä tekee leptokurtisen jakauman muodosta helpommin muistettavan. Leptokurtisen jakauman ”skinniness” on seurausta poikkeamista, jotka venyttävät histogrammikaavion vaaka-akselia, jolloin suurin osa tiedoista näkyy kapealla (”laiha”) pystysuoralla alueella. Siksi leptokurtiset jakaumat on joskus luonnehdittu ”keskittyneiksi kohti keskiarvoa”, mutta asiaankuuluvampi asia (erityisesti sijoittajien kannalta) on satunnaisia äärimmäisiä poikkeamia, jotka aiheuttavat tämän ”keskittymisen” ulkonäön. Esimerkkejä leptokurtisista jakaumista ovat T-jakaumat, joilla on pieni vapausaste.

Lopullinen jakautumistyyppi on platykurtinen jakauma. Tämän tyyppisillä jakaumilla on lyhyet pyrstöt (poikkeavuudet ovat vähäisiä). Etuliite ”platy-” tarkoittaa ”leveää”, ja sen on tarkoitus kuvata lyhyttä ja laajakuvaa, mutta tämä on historiallinen virhe. Yhtenäiset jakaumat ovat platykurtisia ja niillä on leveät huiput, mutta beeta (.5,1) jakauma on myös platykurtinen ja sillä on äärettömän terävä huippu. Syynä siihen, että nämä molemmat jakaumat ovat platykurtisia, on niiden ääriarvot ovat pienempiä kuin normaalijakauman. Sijoittajille platykurtiset tuotonjaot ovat vakaita ja ennustettavia siinä mielessä, että harvoin (jos koskaan) on äärimmäisiä tuottoja (outlier).