Riippumattomat ja toisiaan poissulkevat eivät tarkoita samaa.

Riippumattomat tapahtumat

Kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, jos seuraavat ovat totta:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A JA B) = P (A) P (B)

Kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, jos tieto siitä, että yksi tapahtui, ei vaikuta toisen mahdollisuuksiin. Esimerkiksi reilun kuoleman kahden roolin tulokset ovat itsenäisiä tapahtumia. Ensimmäisen heiton tulos ei muuta toisen heiton tuloksen todennäköisyyttä. Jos haluat näyttää kaksi tapahtumaa riippumattomina, sinun on näytettävä vain yksi yllä olevista ehdoista.

Jos kaksi tapahtumaa EI ole itsenäisiä, sanomme niiden olevan riippuvaisia.

Näytteenotto voidaan tehdä korvaamalla tai korvaamatta.

• Korvaavalla: Jos jokainen populaation jäsen vaihdetaan sen jälkeen, kun se on valittu, kyseinen jäsen voi valita useamman kuin yhden kerran. Kun näytteenotto tapahtuu korvaamalla, tapahtumia pidetään itsenäisinä, eli ensimmäisen valinnan tulos ei muuta toisen valinnan todennäköisyyksiä.
• Ilman korvaamista: Kun näytteenotto tapahtuu korvaamatta, kukin väestön jäsen voidaan valita vain kerran. Tässä tapauksessa toisen valinnan todennäköisyyksiin vaikuttaa ensimmäisen valinnan tulos. Tapahtumien katsotaan olevan riippuvaisia vai ei-riippumattomia.

Jos ei tiedetä, ovatko A ja B riippumattomia vai riippuvaisia, oletetaan, että ne ovat riippuvaisia, kunnes pystyt osoittamaan toisin.

1. Näytteenotto korvaavalla: Oletetaan, että valitset kolme korttia korvaavalla kortilla. Ensimmäinen kortti, jonka valitset 52 kortista, on
   Q-pata. Laitat tämän kortin takaisin, vaihdat kortit ja valitset toisen kortin 52 kortin kannelta. Se on kymmenen klubia. Laitat tämän kortin takaisin, vaihdat kortit ja valitset kolmannen kortin 52 kortin kannelta. Tällä kertaa kortti on jälleen pylväiden Q. Valintasi ovat {Q pata, 10 mailaa, Q pata}. Olet valinnut Q pataa kahdesti. Valitset jokaisen kortin 52 kortin kannelta.
2. Näytteenotto ilman vaihtoa: Oletetaan, että valitset kolme korttia korvaamatta. Ensimmäinen 52 kortista valitsemasi kortti on sydämen K-kortti. Panet tämän kortin sivuun ja valitset toisen kortin kannessa jäljellä olevasta 51 kortista. Se on timanttien kolme. Panet tämän kortin sivuun ja valitset kolmannen kortin kannen jäljellä olevista 50 kortista. Kolmas kortti on patioiden J. Valintasi ovat {K sydämen, kolme timanttien, J lapojen}. Koska olet valinnut kortit korvaamatta, et voi valita samaa korttia kahdesti.

Esimerkki 1

1. Oletetaan, että tiedät, että valitut kortit ovat Q lapiot, sydämen K ja lapioiden Q. Voitteko päättää, onko näytteenotto korvaava vai ei?
   Näytä vastaus

   Näytteenotto korvaavalla

2. Oletetaan, että tiedät, että valitut kortit ovat Q pataa, K sydämiä ja J pataa. Voitteko päättää, onko näytteenotto korvaava vai ei?
   Näytä vastaus

   Ei, emme voi kertoa onko näytteenotto ollut vai ei korvaaminen.

Esimerkki 2

1. Oletetaan, että valitset neljä korttia, mutta älä laita mitään kortteja takaisin kannelle. Korttisi ovat QS, 1D, 1C, QD.
2. Oletetaan, että valitset neljä korttia ja laitat jokaisen kortin takaisin ennen kuin valitset seuraavan kortin. Korttisi ovat KH, 7D, 6D, KH.

Minkä 1: stä tai 2: sta otit näytteellä korvaavalla ja minkä näytit ilman vaihtoa?

Tämä video tarjoaa lyhyen oppitunnin itsenäisten tapahtumien todennäköisyyden löytämisestä.

Keskinäistä poissulkevaa tapahtumaa

A ja B ovat toisiaan poissulkevia tapahtumia, jos niitä ei voi esiintyä samaan aikaan. Tämä tarkoittaa, että A: lla ja B: llä ei ole yhtään lopputulosta ja P (A ja B) = 0.

Oletetaan esimerkiksi, että näytetila S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} ja C = {7, 9}.

Jos ei tiedetä, ovatko A ja B toisiaan poissulkevia, oletetaan, etteivät ne ole, ennen kuin voit osoittaa toisin. Seuraavat esimerkit havainnollistavat näitä määritelmiä ja termejä.

Esimerkki 3

Käännä kaksi reilua kolikkoa. (Tämä on kokeilu.)

Näytetila on {HH, HT, TH, TT}, jossa T = hännät ja H = päät. Mahdolliset tulokset ovat HH, HT, TH ja TT. Tulokset HT ja TH ovat erilaiset. HT tarkoittaa, että ensimmäisessä kolikossa oli pää ja toisessa kolikossa hännät. TH tarkoittaa, että ensimmäisessä kolikossa oli hännät ja toisessa kolikot.

Esimerkki 4

Käännä kaksi reilua kolikkoa.Selvitä tapahtumien todennäköisyydet.

1. Olkoon F = tapahtuma, jossa saa enintään yhden hännän (nolla tai yksi häntä).
2. Olkoon G = kahden saamisen tapahtuma kasvot, jotka ovat samat.
3. Olkoon H = tapahtuma, jossa pää saadaan ensimmäisellä läpällä, jota seuraa pää tai häntä toisella läpällä.
4. Ovatko F ja G toisiaan poissulkevia ?
5. Olkoon J = kaikkien pyrstöjen saamisen tapahtuma. Ovatko J ja H toisiaan poissulkevia?

Tässä videossa on kaksi muuta esimerkkiä toistensa poissulkevien tapahtumien todennäköisyyden löytämisestä.

Esimerkki 5

Rullaa yksi oikeudenmukainen, kuusi puoli. Näytetila on {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Olkoon tapahtuma
A = kasvot ovat parittomia. Sitten A = {1, 3, 5}. Olkoon tapahtuma B = kasvot tasaiset. Sitten B = {2, 4, 6}.

Esimerkki 6

Vihje: Jos G ja H ovat riippumattomia, sinun on näytettävä YKSI seuraavista:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G JA H) = P (G) P ( H)

Koska G ja H ovat riippumattomia, tietäminen siitä, että henkilö käy luonnontieteiden luokassa, ei muuta mahdollisuutta, että hän käy matematiikkatunnilla. Jos nämä kaksi tapahtumaa eivät olleet olleet toisistaan riippumattomia (toisin sanoen ne ovat riippuvaisia toisistaan), tietäminen siitä, että henkilö on luonnontieteiden luokassa, muuttaisi matematiikan mahdollisuutta.

Esimerkki 7

Olkoon tapahtuma C = englantilaisen luokan ottaminen. Olkoon tapahtuma D = ottamassa puheluokkaa.

Oletetaan, että P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 ja P (C JA D) = 0,225.

Perustele vastauksesi seuraaviin kysymyksiin numeerisesti.

Esimerkki 8

Laatikossa on kolme punaista ja viisi sinistä korttia. Punaiset kortit on merkitty numeroilla 1, 2 ja 3 ja siniset kortit numeroilla 1, 2, 3, 4 ja 5. Kortit on sekoitettu hyvin. Pääset laatikkoon (et näe siihen) ja vedät yhden kortin.

Anna R = punainen kortti, B = sininen kortti vedetään, E = parillinen kortti vedetään.

Näytetila S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S: llä on kahdeksan lopputulosta.

Esimerkki 9

Tietyssä korkeakoululuokassa 60% st utentit ovat naisia. Viisikymmentä prosenttia luokan kaikista opiskelijoista on pitkät hiukset. 45 prosenttia opiskelijoista on naisia ja pitkät hiukset. Naisopiskelijoista 75%: lla on pitkät hiukset. Olkoon F tapahtuma, jossa opiskelija on nainen. Olkoon L tapahtuma, jolla opiskelijalla on pitkät hiukset. Yksi opiskelija valitaan satunnaisesti. Ovatko naiset ja pitkät hiukset tapahtumat riippumattomia?

• Tässä esimerkissä annetaan seuraavat todennäköisyydet:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F ja L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Tulosten tulkinta

Nainen ja pitkät hiukset eivät ole itsenäisiä; tieto siitä, että opiskelija on nainen, muuttaa todennäköisyyttä, että opiskelijalla on pitkät hiukset.

Esimerkki 10

Gallupin tiedot. Saatavilla verkossa osoitteessa www.gallup.com/ (käytetty 2. toukokuuta 2013).

Käsitteiden tarkistus

Kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, jos tieto siitä, että yksi tapahtuma ei vaikuta mahdollisuus, että toinen tapahtuu. Jos kaksi tapahtumaa eivät ole riippumattomia, sanomme niiden olevan riippuvaisia.

Korvaavassa näytteessä jokainen populaation jäsen korvataan sen jälkeen, kun se on valittu, niin että jäsenellä on mahdollisuus tulla valituksi enemmän kuin kerran, ja tapahtumia pidetään itsenäisinä. Näytteessä ilman korvaamista jokainen populaation jäsen voidaan valita vain kerran, eikä tapahtumien katsota olevan riippumattomia. Kun tapahtumat eivät jaa tuloksia, ne sulkevat toisensa pois.

Kaavan tarkistus

Jos A ja B ovat riippumattomia, P (A JA B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) ja P (B | A) = P (B).

Jos A ja B sulkevat toisiaan pois, P (A OR B) = P (A) + P (B) ja P (A JA B) = 0.