AlgebraEdit

GroupsEdit

Kun otetaan huomioon ryhmä G {\ displaystyle G} ja suodatus G n {\ displaystyle G_ {n}}, on luonnollinen tapa määritellä topologia G {\ displaystyle G}: lle, jonka sanotaan liittyvän suodatus. Tämän topologian perusta on suodatuksessa esiintyvien alaryhmien kaikkien käännösten joukko, toisin sanoen G {\ displaystyle G} -joukon määritetään olevan avoin, jos se on muodon G n {\ displaystyle aG_ {n}}, jossa ∈ G {\ displaystyle a \ in G} ja n {\ displaystyle n} ovat luonnollinen luku.

G-ryhmän suodatukseen liittyvä topologia {\ displaystyle G} tekee G {\ displaystyle G}: stä topologisen ryhmän.

Renkaat ja moduulit: laskeva suodatusEdit

Annetaan rengas R {\ displaystyle R} ja R {\ displaystyle R} -moduuli M {\ displaystyle M}, M {\ displaystyle M}: n laskeva suodatus on alamoduulien M n {\ displaystyle M_ {n}} pienenevä sekvenssi. Siksi tämä on ryhmät käsitteen erityistapaus, sillä lisäehto, että alaryhmät ovat alamoduuleja. Liittyvä topologia määritellään ryhmille.

Renkaat ja moduulit: nouseva suodatusEdit

SetsEdit

Measure theoryEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ merkitsee {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Aikojen t {\ displaystyle t} tarkka alue riippuu yleensä kontekstista: t {\ displaystyle t} -joukko voi olla erillinen tai jatkuva, rajattu tai rajoittamaton. Esimerkiksi

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 tai {\ mbox {tai}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

σ-algebra määrittelee mitattavan tapahtumasarjan, joka todennäköisyyksien yhteydessä vastaa tapahtumia, jotka voidaan erottaa, tai ”kysymyksiä, joihin voidaan vastata hetkellä t {\ displaystyle t } ”. Siksi suodatusta käytetään usein kuvaamaan muutosta tapahtumasarjassa, joka voidaan mitata tietojen saamisen tai menetyksen kautta. Tyypillinen esimerkki on matemaattisessa rahoituksessa, jossa suodatus edustaa aina käytettävissä olevaa tietoa t {\ displaystyle t} asti ja mukaan lukien ja on tarkempi (mitattavien tapahtumien joukko pysyy samana tai kasvaa) kuin enemmän tietoa osakekurssin kehityksestä tulee saataville.

Suhde pysähtymisaikoihin: pysähtymisaika sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ kohteessa {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ kaikki t \ geq 0 \ right \}}.