AlgebraEdit

GroupsEdit

Bei einer Gruppe G {\ displaystyle G} und einer Filterung G n {\ displaystyle G_ {n}} gibt es eine natürliche Möglichkeit, eine Topologie auf G {\ displaystyle G} zu definieren, die dem zugeordnet sein soll Filtration. Eine Basis für diese Topologie ist die Menge aller Übersetzungen von Untergruppen, die in der Filtration erscheinen, dh eine Teilmenge von G {\ displaystyle G} wird als offen definiert, wenn es sich um eine Vereinigung von Mengen der Form a G n {\ handelt Anzeigestil aG_ {n}}, wobei a ∈ G {\ Anzeigestil a \ in G} und n {\ Anzeigestil n} eine natürliche Zahl ist.

Die Topologie, die einer Filterung in einer Gruppe G {\ zugeordnet ist Anzeigestil G} macht G {\ Anzeigestil G} zu einer topologischen Gruppe.

Ringe und Module: absteigende FilterEdit

Bei einem Ring R {\ Anzeigestil R} und einem R {\ Anzeigestil R} -Modul M {\ displaystyle M}, eine absteigende Filterung von M {\ displaystyle M} ist eine abnehmende Folge von Submodulen M n {\ displaystyle M_ {n}}. Dies ist daher ein Sonderfall des Begriffs für Gruppen mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Untergruppen Submodule sind. Die zugehörige Topologie ist wie für Gruppen definiert.

Ringe und Module: aufsteigende FilterungEdit

SetsEdit

Measure TheoryEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 t F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ impliziert {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Der genaue Bereich der „Zeiten“ t {\ displaystyle t} hängt normalerweise vom Kontext ab: Der Wertesatz für t {\ displaystyle t} kann diskret oder kontinuierlich, begrenzt oder unbegrenzt sein. Zum Beispiel

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 oder {\ mbox {oder}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Eine σ-Algebra definiert die Menge der messbaren Ereignisse, die in einem Wahrscheinlichkeitskontext Ereignissen entsprechen, die unterschieden werden können, oder „Fragen, die zum Zeitpunkt t {\ displaystyle t beantwortet werden können } „. Daher wird häufig eine Filterung verwendet, um die Änderung des Ereignissatzes darzustellen, die durch Informationsgewinn oder -verlust gemessen werden kann. Ein typisches Beispiel ist die mathematische Finanzwelt, bei der eine Filterung die bis zu jedem Zeitpunkt t {\ displaystyle t} verfügbaren Informationen darstellt und immer präziser wird (die Menge der messbaren Ereignisse bleibt gleich oder nimmt zu), je mehr Informationen aus der Entwicklung des Aktienkurses wird verfügbar.

Verhältnis zu Stoppzeiten: Stoppzeit Sigma-AlgebrenEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.