En 1939, un étudiant en mathématiques de l’Université de Californie à Berkeley (États-Unis) est arrivé en retard en classe. Avant la fin de la leçon, il écrivit dans son cahier les deux problèmes que le professeur avait écrits au tableau, en supposant qu’ils étaient le devoir assigné. L’étudiant a mis quelques jours pour apporter les solutions, car la tâche était plus difficile que d’habitude. Quelques semaines plus tard, un dimanche à 8 heures du matin, l’étudiant et sa femme ont été réveillés par le bruit de quelqu’un qui cognait à la porte de leur maison. C’était le professeur, dans un état de grande émotion; ces formulations mathématiques écrites au tableau n’étaient pas des exercices pour la classe, mais plutôt deux fameux problèmes de statistiques que personne n’avait pu résoudre jusqu’alors.

L’élève était le mathématicien George Dantzig, décédé en 2005, considéré comme le père de la programmation linéaire et connu pour ses contributions en statistique, informatique et analyse économique. Dantzig lui-même a raconté l’histoire en 1986 dans un entretien avec le magazine College Mathematics Journal. L’épisode illustre l’aura de légende qui entoure les grands problèmes mathématiques et leurs protagonistes; l’histoire est vraie, même si certaines versions l’ont embellie, plaçant Dantzig dans un examen final que lui seul a pu terminer.

Pour une raison quelconque, les mathématiciens excentriques ont appel populaire. Sylvia Nasar, auteur de la biographie de John Nash A Beautiful Mind qui a inspiré le film du même titre, les assimile à des rock stars. Un exemple de rébellion est le cas du mathématicien russe Grigori Perelman, qui a résolu la conjecture de Poincaré uniquement pour rejeter la médaille Fields et le prix d’un million de dollars offert par le Clay Mathematics Institute.

La conjecture proposée par Henri Poincaré en 1904 dit que, tout comme un élastique autour d’une sphère peut rétrécir jusqu’à se réduire à un seul point sans se détacher de la surface, il en va de même pour une hypersphère en quatre dimensions; et ceci, à son tour, ne se produit pas avec un corps en forme de beignet. La conjecture de Poincaré est le seul résolu des sept problèmes du millénaire, chacun doté d’un prix d’un million de dollars par le Clay Institute. Jusqu’à présent, les six autres ont détourné les attaques des esprits les plus brillants de l’humanité.

Mais que possèdent ces gros problèmes qui leur permettent de captiver non seulement l’effort intellectuel des mathématiciens, mais aussi la curiosité populaire? Quels avantages leur solution nous apportera-t-elle? « La nature de ces problèmes est que la solution à l’un d’entre eux aura probablement de profondes implications pour la vie humaine », déclare à OpenMind le mathématicien et vulgarisateur Keith Devlin, co-fondateur et directeur de l’Institut de recherche avancée en sciences et technologies humaines. (H- STAR), appartenant à l’Université de Stanford (États-Unis). Devlin est l’auteur de The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time (Granta Books, 2004), un livre qui explique les sept problèmes du millénaire. Pour Devlin , parmi les nombreuses énigmes mathématiques à résoudre, « les problèmes du millénaire qui ne sont toujours pas résolus sont en haut de la liste ».

Parmi eux se trouve l’hypothèse de Riemann, se référant à la distribution des nombres premiers, qui deviennent de plus en plus rares à mesure que l’on avance dans la liste des nombres entiers. De son côté, le problème P versus NP demande si, étant donné la solution à un problème facile à vérifier, la solution est également accessible. Le problème de l’existence de Yang-Mills et de l’écart de masse se réfère à l’interaction des particules quantiques, tandis que les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides. Les deux problèmes restants, tous deux très complexes à expliquer, sont la conjecture de Hodge et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Et enfin, hors de la liste des Problèmes du Millénaire mais très diffusée dans les médias et sans preuve depuis 1742, se trouve la Conjecture de Goldbach qui propose que tout nombre pair supérieur à 2 puisse être exprimé comme la somme de deux nombres premiers.

Selon Devlin, les solutions à certains de ces problèmes pourraient avoir des implications pratiques: l’hypothèse de Riemann contient des implications potentielles pour la physique et la technologie des communications; P versus NP pour l’industrie, le commerce et la sécurité Internet; et la conjecture de Poincaré pour la conception et la fabrication de composants électroniques.Mais alors que pour la plupart des mortels ordinaires, ce qui compte dans une question est de connaître sa réponse, Devlin précise que ce n’est pas le cas pour les plus grandes énigmes des mathématiques; la clé ne réside pas dans «savoir quelles sont les réponses», mais plutôt dans «la méthode de solution dans laquelle on espérerait trouver de nombreux avantages pour l’humanité». «Habituellement, connaître la réponse à n’importe quel problème mathématique n’a aucune valeur autre que celle de la curiosité», dit l’expert. «Les mathématiciens s’intéressent en fait très peu à la réponse spécifique à une question. L’intérêt réside plutôt dans la manière dont on parvient à cette réponse. »

Par Javier Yanes pour Ventana al Conocimiento

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