Anniversaires partagés
C’est un grand casse-tête et vous en apprenez beaucoup sur les probabilités en cours de route …
Il y a 30 personnes dans une pièce … quelle est la chance que deux d’entre eux fêtent leur anniversaire le même jour? Supposons que 365 jours par an.
Certaines personnes peuvent penser :
« il y a 30 personnes et 365 jours, donc 30/365 semble juste.
Ce qui est 30/365 = 0,08 …, donc environ 8% peut-être? »
Mais non!
La probabilité est beaucoup plus élevée.
Il est en fait probable que des personnes partagent un anniversaire dans cette pièce.
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Parce que vous devriez comparer tout le monde à tout le monde. Et avec 30 personnes, c’est 435 comparaisons. Mais vous devez également faire attention à ne pas sur-compter les chances. |
Je vais vous montrer comment faire. .. en commençant par un exemple plus petit:
Amis et nombres aléatoires
4 amis (Alex, Billy, Chris et Dusty) choisissent chacun un nombre aléatoire entre 1 et 5. Quelle est la chance que l’un d’eux ait choisi le sam e numéro?
Nous ajouterons nos amis un par un …
Premièrement, quelle est la chance qu’Alex et Billy aient le même numéro?
Billy compare son numéro au numéro d’Alex. Il y a 1 chance sur 5 d’une correspondance.
Sous forme d’arborescence:
Remarque : « Oui » et « Non » forment ensemble 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Maintenant, incluons Chris …
Mais il y a maintenant deux cas à considérer (appelés « Probabilité conditionnelle »):
- Si Alex et Billy correspondent, alors Chris n’a qu’un seul nombre à comparer.
- Mais si Alex et Billy ne correspondent pas, Chris a deux nombres à comparer.
Et nous obtenons ceci:
Pour la ligne du haut (Alex et Billy se sont rencontrés), nous avons déjà un match (une chance de 1/5).
Mais pour le « Alex et Billy ne correspondait pas « au cas où il y a 2 numéros avec lesquels Chris pourrait correspondre, il y a donc une chance de 2/5 pour Chris correspondant (contre Alex et Billy). Et une chance de 3/5 de ne pas correspondre.
Et nous pouvons calculer la chance combinée en multipliant les chances qu’il a fallu pour y arriver:
En suivant le chemin « Non, Oui » … il y a une chance de 4/5 o f Non, suivi de 2/5 chances de Oui:
Suite le chemin « Non, Non » … il y a une chance de 4/5 de Non, suivie d’une chance de 3/5 de Non:
Notez également que l’addition de toutes les chances est égale à 1 (une bonne vérification que nous n’avons pas fait d’erreur):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Que se passe-t-il maintenant lorsque nous incluons Dusty?
C’est la même idée, juste plus:
OK, c’est tous les 4 amis, et les chances « Oui » ensemble font 101/125:
Réponse: 101/125
Et c’est une astuce populaire en matière de probabilité:
Il est souvent plus facile de résoudre le cas du « Non »
(et de soustraire de 1 pour le cas « Oui »)
Et maintenant, nous pouvons essayer de calculer la question « Anniversaire partagé » avec laquelle nous avons commencé:
La probabilité pour 30 personnes est donc d’environ 70%.
Et la probabilité pour 23 personnes est d’environ 50%.
Et la probabilité pour 57 personnes est de 99% (almos t certain!)
Simulation
Nous pouvons également simuler cela en utilisant des nombres aléatoires. Essayez-le vous-même ici, utilisez 30 et 365 et appuyez sur Go. Un millier d’essais aléatoires seront exécutés et les résultats seront donnés.
Vous pouvez également essayer les autres exemples ci-dessus, tels que 4 et 5 pour simuler « Amis et nombres aléatoires ».
Pour de vrai
La prochaine fois que vous serez dans une pièce avec un groupe de personnes, pourquoi ne pas savoir s’il y a des anniversaires partagés?