AlgebraEdit

GroupsEdit

Étant donné un groupe G {\ displaystyle G} et une filtration G n {\ displaystyle G_ {n}}, il existe une manière naturelle de définir une topologie sur G {\ displaystyle G}, dite associée au filtration. Une base pour cette topologie est l’ensemble de toutes les traductions de sous-groupes apparaissant dans le filtrage, c’est-à-dire qu’un sous-ensemble de G {\ displaystyle G} est défini comme étant ouvert s’il s’agit d’une union d’ensembles de la forme a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, où a ∈ G {\ displaystyle a \ in G} et n {\ displaystyle n} est un nombre naturel.

La topologie associée à un filtrage sur un groupe G {\ displaystyle G} fait de G {\ displaystyle G} un groupe topologique.

Anneaux et modules: filtrations descendantes Modifier

Étant donné un anneau R {\ displaystyle R} et un R {\ displaystyle R} -module M {\ displaystyle M}, un filtrage descendant de M {\ displaystyle M} est une séquence décroissante de sous-modules M n {\ displaystyle M_ {n}}. C’est donc un cas particulier de la notion de groupes, avec la condition supplémentaire que les sous-groupes soient des sous-modules. La topologie associée est définie comme pour les groupes.

Anneaux et modules: filtrations ascendantesEdit

SetsEdit

Mesure théorieEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implique {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

La plage exacte des « temps » t {\ displaystyle t} dépendra généralement du contexte: l’ensemble des valeurs de t {\ displaystyle t} peut être discret ou continu, borné ou illimité. Par exemple,

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 ou {\ mbox {ou}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Une σ-algèbre définit l’ensemble des événements qui peuvent être mesurés, ce qui dans un contexte de probabilité équivaut à des événements qui peuvent être discriminés, ou « des questions auxquelles on peut répondre au temps t {\ displaystyle t } « . Par conséquent, un filtrage est souvent utilisé pour représenter le changement dans l’ensemble des événements qui peuvent être mesurés, par gain ou perte d’information. Un exemple typique est celui de la finance mathématique, où un filtrage représente les informations disponibles jusqu’à et y compris chaque fois t {\ displaystyle t}, et est de plus en plus précis (l’ensemble des événements mesurables reste le même ou augmente) à mesure que plus d’informations de l’évolution du cours de l’action devient disponible.

Relation aux temps d’arrêt: temps d’arrêt sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.