Pour déterminer la distribution d’une variable aléatoire discrète, nous pouvons soit fournir son PMF ou CDF. Pour les variables aléatoires continues, le CDF est bien défini afin que nous puissions fournir le CDF. Cependant, le PMF ne fonctionne pas pour les variables aléatoires continues, car pour une variable aléatoire continue $ P (X = x) = 0 $ pour tout $ x \ in \ mathbb {R} $. Au lieu de cela, nous pouvons généralement définir la fonction de densité de probabilité (PDF). Le PDF est la densité de probabilité plutôt que la masse de probabilité. Le concept est très similaire à la densité de masse en physique: son unité est la probabilité par unité de longueur. Pour avoir une idée du PDF, considérez une variable aléatoire continue $ X $ et définissez la fonction $ f_X (x) $ comme suit (partout où la limite existe): $$ f_X (x) = \ lim _ {\ Delta \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {P (x

$$ f_X (x) = \ lim _ {\ Delta \ rightarrow 0} \ frac {F_X (x + \ Delta) -F_X (x)} {\ Delta} $$ $$ = \ frac {dF_X (x)} {dx} = F  » _X (x), \ hspace {20pt} \ textrm {if} F_X (x) \ textrm {est différentiable en} x. $$

Ainsi, nous avons la définition suivante pour le PDF de variables aléatoires continues:

Exemple
Soit $ X $ une variable aléatoire continue avec le PDF suivant \ begin {equation} \ nonumber f_X (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} ce ^ {- x} & \ quad x \ geq 0 \\ 0 & \ quad \ text {sinon} \ end {array} \ right. \ end {equation} où $ c $ est une constante positive.

1. Trouver $ c $.
2. Trouver le CDF de X, $ F_X (x) $.
3. Trouver $ P (1

Gamme