Le champ électrique à proximité d’un très long fil à charge uniforme

Comme nous l’avons vu, le champ électrique autour d’une charge ponctuelle est sphérique symétrique et inversement proportionnel à le carré de la distance. Il existe deux autres configurations géométriques qui valent la peine d’être examinées.

Si nous avons une collection linéaire « infiniment longue » de charge uniformément répartie (c’est-à-dire un long fil chargé), nous pouvons déterminer le champ électrique le plus proche par intégration. Soit la charge par unité de longueur λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs par mètre.

En un point donné à distance b {\ displaystyle b} du fil, la contribution au champ à partir d’une section infinitésimale de fil de longueur d ℓ {\ displaystyle d \ ell} est:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

La composante de ce vecteur pointant perpendiculairement à l’écart du fil est:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Le champ pointe perpendiculairement à l’écart du fil, et est inversement proportionnel à la première puissance de la distance de séparation.

le fil doit-il être infiniment long? Non; ce n’est qu’une approximation de la limite infinie. L’approximation est bonne tant que l’on est beaucoup plus proche du fil que la longueur du fil.

Le champ électrique près d’un très grand plan uniformément chargéEdit

Une autre configuration géométrique très importante est un plan plat « infiniment grand » avec une distribution de charge uniforme. Nous divisons le plan en plusieurs fines bandes parallèles de largeur dl. Si la densité de charge par unité de surface du plan est σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs par mètre carré, chacun strip a une densité de charge linéaire de

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs par mètre.

Nous utilisons le résultat du section précédente, et essentiellement le même diagramme. Les bandes sont maintenant en cours d’exécution dans ou hors de la page / écran, et les sections transversales des bandes apparaissent de gauche à droite sur le diagramme. Le champ au point d’intérêt est:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

La composante ascendante (par symétrie le champ total pointera perpendiculairement hors du plan) est:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

La composante ascendante totale du champ est obtenue en intégrant:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Le champ s’éloigne perpendiculairement du plan et est indépendant de la distance de séparation. Autrement dit, il est indépendant tant que l’on reste si près du plan qu’il semble être presque infini.

Application: Le champ électrique à l’intérieur d’un condensateur à plaques parallèlesEdit

Les lois de Newton supposent que la force nette est la somme de toutes les forces, ma = ΣFj (somme sur j). Puisque le champ électrique, E, est défini par Selon la loi de Coulomb via F = qE, l’hypothèse la plus simple possible est que le champ électrique est la somme des champs électriques individuels dus à chaque charge. Ce principe s’appelle superposition (ou superposition linéaire) et il tient au moins jusqu’aux tailles plus petites que le noyau atomique. En fait, nous avons implicitement supposé la superposition en intégrant pour obtenir le champ électrique dû aux charges de ligne et de surface. Comme le montre la figure, les champs électriques s’ajoutent de manière constructive dans l’espace entre les plaques.Ils ajoutent de manière destructive (c’est-à-dire qu’ils soustraient) à l’extérieur des deux plaques et ajoutent un champ électrique nul. Par conséquent, le champ électrique entre les plaques est

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)