Indépendant et s’excluant mutuellement ne signifient pas la même chose.

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si les suivants sont vrais:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A ET B) = P (A) P (B)

Deux événements A et B sont indépendants si la connaissance que l’un s’est produit n’affecte pas la probabilité que l’autre se produise. Par exemple, les résultats de deux rôles d’un dé équitable sont des événements indépendants. Le résultat du premier jet ne change pas la probabilité du résultat du deuxième jet. Pour montrer que deux événements sont indépendants, vous devez afficher une seule des conditions ci-dessus.

Si deux événements ne sont PAS indépendants, alors nous disons qu’ils sont dépendants.

L’échantillonnage peut être effectué avec remplacement ou sans remplacement.

• Avec remplacement: si chaque membre d’une population est remplacé après avoir été sélectionné, alors ce membre a la possibilité d’être choisi plus d’une fois. Lorsque l’échantillonnage est effectué avec remplacement, les événements sont considérés comme indépendants, ce qui signifie que le résultat du premier prélèvement ne changera pas les probabilités du deuxième prélèvement.
• Sans remplacement: lorsque l’échantillonnage est effectué sans remplacement, chaque membre d’une population ne peut être choisi qu’une seule fois. Dans ce cas, les probabilités pour le deuxième choix sont affectées par le résultat du premier choix. Les événements sont considérés comme dépendants ou non indépendants.

Si vous ne savez pas si A et B sont indépendants ou dépendants, supposez qu’ils sont dépendants jusqu’à ce que vous puissiez montrer le contraire.

1. Échantillonnage avec remplacement: Supposons que vous choisissiez trois cartes avec remplacement. La première carte que vous choisissez parmi les 52 cartes est le
   Q de pique. Vous remettez cette carte, mélangez les cartes et choisissez une deuxième carte dans le paquet de 52 cartes. Ce sont les dix clubs. Vous remettez cette carte, mélangez les cartes et choisissez une troisième carte dans le paquet de 52 cartes. Cette fois, la carte est à nouveau le Q de pique. Vos choix sont {Q de pique, dix de clubs, Q de pique}. Vous avez choisi le Q de pique deux fois. Vous choisissez chaque carte du paquet de 52 cartes.
2. Échantillonnage sans remplacement: supposons que vous choisissiez trois cartes sans remplacement. La première carte que vous choisissez parmi les 52 cartes est le
   K des coeurs. Vous mettez cette carte de côté et choisissez la deuxième carte parmi les 51 cartes restantes dans le paquet. Ce sont les trois diamants. Vous mettez cette carte de côté et choisissez la troisième des 50 cartes restantes dans le paquet. La troisième carte est le J de pique. Vos choix sont {K de cœur, trois de diamants, J de pique}. Parce que vous avez choisi les cartes sans les remplacer, vous ne pouvez pas choisir la même carte deux fois.

Exemple 1

1. Supposons que vous sachiez que les cartes choisies sont Q de pique, K de cœur et Q de pique. Pouvez-vous décider si l’échantillonnage était avec ou sans remplacement?
   Afficher la réponse

   Échantillonnage avec remplacement

2. Supposons que vous sachiez que les cartes choisies sont Q de pique, K de cœur et J de pique. Pouvez-vous décider si l’échantillonnage était avec ou sans remplacement?
   Afficher la réponse

   Non, nous ne pouvons pas dire si l’échantillonnage était avec ou sans remplacement.

Exemple 2

1. Supposons que vous choisissiez quatre cartes, mais que vous ne remettiez aucune carte dans le paquet. Vos cartes sont QS, 1D, 1C, QD.
2. Supposons que vous choisissiez quatre cartes et que vous remettiez chaque carte avant de choisir la carte suivante. Vos cartes sont KH, 7D, 6D, KH.

Laquelle de 1 ou 2 avez-vous échantillonné avec remplacement et laquelle avez-vous échantillonnée sans remplacement?

Cette vidéo fournit une brève leçon sur la recherche de la probabilité d’événements indépendants.

Événements mutuellement exclusifs

A et B sont des événements mutuellement exclusifs s’ils ne peuvent pas se produire au en même temps. Cela signifie que A et B ne partagent aucun résultat et P (A ET B) = 0.

Par exemple, supposons que l’espace échantillon S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Soit A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} et C = {7, 9}.

Si vous ne savez pas si A et B sont mutuellement exclusifs, supposez qu’ils ne le sont pas jusqu’à ce que vous puissiez montrer le contraire. Les exemples suivants illustrent ces définitions et termes.

Exemple 3

Lancez deux pièces justes. (Ceci est une expérience.)

L’espace échantillon est {HH, HT, TH, TT} où T = queues et H = têtes. Les résultats possibles sont HH, HT, TH et TT. Les résultats HT et TH sont différents. Le HT signifie que la première pièce montrait des têtes et la deuxième pièce montrait des queues. Le TH signifie que la première pièce a montré des queues et la deuxième pièce a montré des têtes.

Exemple 4

Lancez deux pièces justes.Trouvez les probabilités des événements.

1. Soit F = l’événement consistant à obtenir au plus une queue (zéro ou une queue).
2. Soit G = l’événement consistant à obtenir deux visages identiques.
3. Soit H = l’événement consistant à avoir une tête au premier flip suivi d’une tête ou une queue au deuxième flip.
4. Sont F et G mutuellement exclusifs ?
5. Soit J = l’événement d’obtention de toutes les queues. J et H s’excluent-ils mutuellement?

Cette vidéo fournit deux autres exemples de recherche de la probabilité d’événements qui s’excluent mutuellement.

Exemple 5

Lancez un dé juste à six faces. L’espace échantillon est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Soit événement
A = une face est impaire. Alors A = {1, 3, 5}. Soit l’événement B = une face est paire. Alors B = {2, 4, 6}.

Exemple 6

Astuce: Si G et H sont indépendants, alors vous devez montrer UN des éléments suivants:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G ET H) = P (G) P ( H)

Puisque G et H sont indépendants, le fait de savoir qu’une personne suit un cours de sciences ne change pas sa chance de suivre un cours de mathématiques. Si les deux événements n’avaient pas été indépendants (c’est-à-dire qu’ils sont dépendants), le fait de savoir qu’une personne suit un cours de sciences changerait ses chances de suivre des cours de mathématiques.

Exemple 7

Soit l’événement C = suivre un cours d’anglais. Soit l’événement D = prenant une classe de discours.

Supposons P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 et P (C ET D) = 0,225.

Justifiez numériquement vos réponses aux questions suivantes.

Exemple 8

Dans une boîte, il y a trois cartes rouges et cinq cartes bleues. Les cartes rouges sont marquées des numéros 1, 2 et 3, et les cartes bleues sont marquées des numéros 1, 2, 3, 4 et 5. Les cartes sont bien mélangées. Vous entrez dans la boîte (vous ne pouvez pas voir dedans) et piochez une carte.

Soit R = un carton rouge est tiré, B = une carte bleue est tirée, E = une carte paire est tirée.

L’espace échantillon S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S a huit résultats.

Exemple 9

Dans une classe d’université particulière, 60% des élèves Les udents sont des femmes. Cinquante pour cent de tous les élèves de la classe ont les cheveux longs. Quarante-cinq pour cent des élèves sont des femmes et ont les cheveux longs. Parmi les étudiantes, 75% ont les cheveux longs. Soit F l’événement où un élève est une femme. Soit L l’événement où un élève a les cheveux longs. Un élève est choisi au hasard. Les événements liés au fait d’être une femme et d’avoir les cheveux longs sont-ils indépendants?

• Les probabilités suivantes sont données dans cet exemple:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F ET L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interprétation des résultats

Les événements d’être une femme et d’avoir les cheveux longs ne sont pas indépendants; savoir qu’un élève est une femme change la probabilité qu’un élève ait les cheveux longs.

Exemple 10

Données de Gallup. Disponible en ligne sur www.gallup.com/ (consulté le 2 mai 2013).

Revue de concept

Deux événements A et B sont indépendants si la connaissance que l’un d’eux s’est produit n’affecte pas le chance que l’autre se produise. Si deux événements ne sont pas indépendants, alors nous disons qu’ils sont dépendants.

Dans l’échantillonnage avec remplacement, chaque membre d’une population est remplacé après avoir été sélectionné, de sorte que le membre a la possibilité d’être choisi plus de une fois, et les événements sont considérés comme indépendants. Dans l’échantillonnage sans remise, chaque membre d’une population ne peut être choisi qu’une seule fois et les événements sont considérés comme n’étant pas indépendants. Lorsque les événements ne partagent pas les résultats, ils s’excluent mutuellement.

Révision des formules

Si A et B sont indépendants, P (A ET B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) et P (B | A) = P (B).

Si A et B sont mutuellement exclusifs, P (A OU B) = P (A) + P (B) et P (A ET B) = 0.