Pythagore MeansEdit

Moyenne arithmétique (AM) Modifier

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Par exemple, la moyenne arithmétique de cinq valeurs: 4, 36, 45, 50, 75 est:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Modification de la moyenne géométrique (GM)

La moyenne géométrique est une moyenne utile pour les ensembles de nombres positifs, qui sont interprétés en fonction de leur produit (comme c’est le cas avec les taux de croissance) et non de leur somme (comme c’est le cas avec la moyenne arithmétique):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ gauche (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Par exemple, la mesure géométrique n de cinq valeurs: 4, 36, 45, 50, 75 est:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ fois 36 \ fois 45 \ fois 50 \ fois 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Moyenne harmonique (HM) Modifier

La moyenne harmonique est une moyenne qui est utile pour des ensembles de nombres qui sont définis par rapport à une unité, comme dans le cas de la vitesse (c’est-à-dire la distance par unité de temps):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Par exemple, la moyenne harmonique des cinq valeurs: 4, 36, 45, 50, 75 est

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relation entre AM, GM et HMEdit

AM, GM et HM satisfont ces inégalités:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

L’égalité est valable si et seulement si tous les éléments de l’échantillon donné sont égaux.

Localisation statistiqueEdit

Dans les statistiques descriptives, la moyenne peut être confondue avec la médiane, le mode ou le milieu de gamme, car chacun de ces éléments peut être appelé une « moyenne » (plus formellement, un mesure de la tendance centrale). La moyenne d’un ensemble d’observations est la moyenne arithmétique des valeurs; cependant, pour les distributions asymétriques, la moyenne n’est pas nécessairement la même que la valeur médiane (médiane) ou la valeur la plus probable (mode). Par exemple, le revenu moyen est généralement biaisé à la hausse par un petit nombre de personnes aux revenus très élevés, de sorte que la majorité a un revenu inférieur à la moyenne. En revanche, le revenu médian est le niveau auquel la moitié de la population est en dessous et la moitié au-dessus. Le revenu modal est le revenu le plus probable et favorise le plus grand nombre de personnes à faible revenu. Alors que la médiane et le mode sont souvent des mesures plus intuitives pour ces données asymétriques, de nombreuses distributions asymétriques sont en fait mieux décrites par leur moyenne, y compris les distributions exponentielle et de Poisson.

Moyenne d’une distribution de probabilité Modifier

La moyenne d’une distribution de probabilité est la valeur moyenne arithmétique à long terme d’une variable aléatoire ayant cette distribution. Si la variable aléatoire est désignée par X {\ displaystyle X}, alors elle est également connue comme la valeur attendue de X {\ displaystyle X} (notée E (X) {\ displaystyle E (X)}). Pour une distribution de probabilité discrète, la moyenne est donnée par ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, où la somme est prise sur toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et P (x) {\ displaystyle P (x)} est la fonction de probabilité de masse. Pour une distribution continue, la moyenne est ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, où f (x) { \ displaystyle f (x)} est la fonction de densité de probabilité. Dans tous les cas, y compris ceux où la distribution n’est ni discrète ni continue, la moyenne est l’intégrale de Lebesgue de la variable aléatoire par rapport à sa mesure de probabilité.La moyenne n’a pas besoin d’exister ou d’être finie; pour certaines distributions de probabilité, la moyenne est infinie (+ ∞ ou −∞), tandis que pour d’autres, la moyenne n’est pas définie.

Moyenne généraliséeModifier

Power meanEdit

Le La moyenne généralisée, également connue sous le nom de moyenne de puissance ou moyenne de Hölder, est une abstraction des moyennes quadratiques, arithmétiques, géométriques et harmoniques. Il est défini pour un ensemble de n nombres positifs xi par

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

En choisissant valeurs différentes pour le paramètre m, les types de moyennes suivants sont obtenus:

f-meanEdit

Ceci peut être généralisé plus loin comme la f-moyenne généralisée

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

et encore une fois un choix approprié d’un f inversible donnera

Moyenne arithmétique pondéréeEdit

La moyenne arithmétique pondérée (ou moyenne pondérée) est utilisée si l’on veut combiner des valeurs moyennes d’échantillons de tailles différentes de la même population:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

MeanEdit tronqué

Parfois, un ensemble de nombres peut contenir des valeurs aberrantes (c’est-à-dire des valeurs de données bien inférieures ou bien supérieures à la valeur autres). Souvent, les valeurs aberrantes sont des données erronées causées par des artefacts. Dans ce cas, on peut utiliser une moyenne tronquée. Cela implique de rejeter des parties données des données en haut ou en bas, généralement une quantité égale à chaque extrémité, puis de prendre la moyenne arithmétique des données restantes. Le nombre de valeurs supprimées est indiqué en pourcentage du nombre total de valeurs.

Interquartile meanEdit

La moyenne interquartile est un exemple spécifique de moyenne tronquée. C’est simplement la moyenne arithmétique après avoir supprimé le quart le plus bas et le quart le plus élevé des valeurs.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

en supposant que les valeurs ont été ordonnées, c’est donc simplement un exemple spécifique d’une moyenne pondérée pour un ensemble spécifique de poids.

Moyenne d’une fonctionEdit

Dans certaines circonstances, les mathématiciens peuvent calculer la moyenne d’un ensemble infini (ou même indénombrable) de valeurs. Cela peut arriver lors du calcul de la valeur moyenne y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} d’une fonction f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivement, une moyenne d’une fonction peut être considérée comme le calcul de l’aire sous une section d’une courbe, puis la division par la longueur de cette section. Cela peut être fait grossièrement en comptant des carrés sur du papier millimétré, ou plus précisément par intégration. La formule d’intégration s’écrit:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

Dans ce cas, il faut veiller à ce que l’intégrale converge. Mais la moyenne peut être finie même si la fonction elle-même tend vers l’infini en certains points.

Moyenne des angles et des quantités cycliques Modifier

Les angles, les heures de la journée et d’autres quantités cycliques nécessitent des modules arithmétique pour ajouter et combiner autrement des nombres. Dans toutes ces situations, il n’y aura pas de moyen unique. Par exemple, les heures d’une heure avant et après minuit sont équidistantes à minuit et midi. Il est également possible qu’aucun moyen n’existe. Considérez une roue chromatique – il n’y a pas de moyen pour l’ensemble de toutes les couleurs. Dans ces situations, vous devez décider quel moyen est le plus utile. Vous pouvez le faire en ajustant les valeurs avant de faire la moyenne, ou en utilisant une approche spécialisée pour la moyenne des grandeurs circulaires.

Fréchet meanEdit

La moyenne de Fréchet donne un moyen de déterminer le  » centre « d’une distribution de masse sur une surface ou, plus généralement, une variété riemannienne. Contrairement à de nombreux autres moyens, la moyenne de Fréchet est définie sur un espace dont les éléments ne peuvent pas nécessairement être additionnés ou multipliés par des scalaires. Elle est parfois également connue sous le nom de moyenne de Karcher (du nom d’Hermann Karcher).

Swanson  » s ruleEdit

Ceci est une approximation de la moyenne pour une distribution modérément asymétrique. Il est utilisé dans l’exploration d’hydrocarbures et est défini comme

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0,3P_ {10} + 0,4P_ {50} + 0,3P_ {90}}

où P10, P50 et P90 10e, 50e et 90e centiles de la distribution.

Autres moyensModifier