Gemeinsame Geburtstage
Dies ist ein großartiges Rätsel, und Sie können unterwegs viel über die Wahrscheinlichkeit lernen …
In einem Raum befinden sich 30 Personen … wie groß ist die Chance, dass zwei von ihnen am selben Tag ihren Geburtstag feiern? Nehmen Sie 365 Tage im Jahr an.
Einige Leute denken vielleicht :
„Es gibt 30 Personen und 365 Tage, also klingt 30/365 ungefähr richtig.
Was ist 30/365 = 0,08 …, also ungefähr 8% vielleicht?“
Aber nein!
Die Wahrscheinlichkeit ist viel höher.
Es ist tatsächlich wahrscheinlich, dass sich Personen in diesem Raum einen Geburtstag teilen.
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Weil Sie alle mit allen anderen vergleichen sollten. Und bei 30 Personen sind das 435 Vergleiche. Aber Sie müssen auch darauf achten, die nicht zu überzählen Chancen. |
Ich werde Ihnen zeigen, wie es geht. .. beginnend mit einem kleineren Beispiel:
Freunde und Zufallszahlen
4 Freunde (Alex, Billy, Chris und Dusty) wählen jeweils eine Zufallszahl zwischen 1 und 5. Was ist die Chance, dass einer von ihnen den Sam gewählt hat? Die Nummer?
Wir werden unsere Freunde einzeln hinzufügen …
Wie groß ist die Chance, dass Alex und Billy dieselbe Nummer haben?
Billy vergleicht seine Nummer mit Alex ‚Nummer. Es besteht eine 1: 5-Chance auf Übereinstimmung.
Als Baumdiagramm:
Hinweis : „Ja“ und „Nein“ ergeben zusammen 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Nun schließen wir Chris ein …
Jetzt sind jedoch zwei Fälle zu berücksichtigen („Bedingte Wahrscheinlichkeit“ genannt):
- Wenn Alex und Billy übereinstimmen, hat Chris nur eine Zahl zum Vergleichen.
- Aber wenn Alex und Billy nicht übereinstimmen, hat Chris zwei Zahlen zum Vergleichen.
Und wir bekommen Folgendes:
Für die oberste Zeile (Alex und Billy haben zusammengepasst) haben wir bereits eine Übereinstimmung (eine Chance von 1/5).
Aber für die „Alex und Billy stimmte nicht überein „Fall gibt es 2 Zahlen, mit denen Chris übereinstimmen könnte, also gibt es eine 2/5 Chance, dass Chris übereinstimmt (gegen Alex und Billy). Und eine 3/5 Chance, dass Chris nicht übereinstimmt.
Und wir können die kombinierte Chance berechnen, indem wir die Chancen multiplizieren, die nötig waren, um dorthin zu gelangen:
Folgen Sie dem Pfad „Nein, ja“ … es gibt eine 4/5-Chance o f Nein, gefolgt von einer 2/5 Chance von Ja:
Folgen der „Nein, Nein“ -Pfad … es gibt eine 4/5-Chance von Nein, gefolgt von einer 3/5 Chance von Nein:
Beachten Sie auch, dass das Addieren aller Chancen 1 ist (eine gute Überprüfung, dass wir keinen Fehler gemacht haben):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Was passiert nun, wenn wir Dusty einschließen?
Es ist dieselbe Idee, nur mehr davon:
OK, das sind alle 4 Freunde, und die Chancen „Ja“ ergeben zusammen 101/125:
Antwort: 101/125
Und das ist ein beliebter Trick in der Wahrscheinlichkeit:
Es ist oft einfacher, den „Nein“ -Fall zu berechnen
(und von 1 zu subtrahieren für den Fall „Ja“)
Und jetzt können wir versuchen, die Frage „Gemeinsamer Geburtstag“ zu berechnen, mit der wir begonnen haben:
Die Wahrscheinlichkeit für 30 Personen liegt also bei etwa 70%.
Und die Wahrscheinlichkeit für 23 Personen beträgt ungefähr 50%.
Und die Wahrscheinlichkeit für 57 Personen beträgt 99% (almos) t sicher!)
Simulation
Wir können dies auch mit Zufallszahlen simulieren. Probieren Sie es hier selbst aus, verwenden Sie 30 und 365 und drücken Sie Los. Es werden tausend zufällige Versuche durchgeführt und die Ergebnisse angegeben.
Sie können auch die anderen Beispiele von oben ausprobieren, z. B. 4 und 5, um „Freunde und Zufallszahlen“ zu simulieren.
Für Real
Wenn Sie das nächste Mal in einem Raum mit einer Gruppe von Personen sind, können Sie herausfinden, ob es gemeinsame Geburtstage gibt.