Pitagorai eszközökEdit

Aritmetikai átlag (AM) Szerkesztés

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ bal ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Például öt érték számtani átlaga: 4, 36, 45, 50, 75:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometriai átlag (GM) Szerkesztés

A geometriai átlag egy átlag, amely hasznos a pozitív számok halmazaihoz, amelyeket termékük szerint értelmezünk (ahogy a növekedési ütemek esetében is), és nem az összegük alapján (ahogyan ez a számtani átlagnál is van):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ balra (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Például a geometriai mea Az öt érték közül n: 4, 36, 45, 50, 75:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ alkalommal 36 \ 45-szer 50-szer 75-ször) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmonikus átlag (HM) Szerkesztés

A harmonikus átlag olyan átlag, amely hasznos lehet olyan számkészletekhez, amelyeket valamilyen egységhez viszonyítva határoznak meg, például a sebesség (azaz az időegységenként mért távolság) esetében:

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ bal (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Például az öt érték harmonikus átlaga: 4, 36, 45, 50, 75

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Kapcsolat az AM, a GM és a HMEdit között

AM, GM és HM kielégíti ezeket az egyenlőtlenségeket:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Az egyenlőség csak akkor érvényes, ha az adott minta összes eleme egyenlő.

Statisztikai helyEdit

A leíró statisztikákban az átlag összetéveszthető a mediánnal, az üzemmóddal vagy a középtartománnyal, mivel ezek bármelyikét “átlagnak” (formálisan inkább a központi tendencia mértéke). A megfigyelések halmazának átlaga az értékek számtani átlaga; ferde eloszlások esetén azonban az átlag nem feltétlenül azonos a középső értékkel (medián) vagy a legvalószínűbb értékkel (mód). Például az átlagjövedelmet általában kevés, nagyon nagy jövedelmű ember torzítja felfelé, így a többség jövedelme az átlagnál alacsonyabb. Ezzel szemben a medián jövedelem az a szint, amelyen a népesség fele alacsonyabb, fele pedig felette van. Az üzemmódból származó jövedelem a legvalószínűbb jövedelem, és az alacsonyabb jövedelműek nagyobb számának kedvez. Míg a medián és a mód gyakran intuitívebb mérőszám az ilyen torz adatok esetén, sok ferde eloszlást valójában az átlaguk jellemez, leginkább az exponenciális és a Poisson eloszlás.

A valószínűség-eloszlás átlagaEdit

A valószínűségi eloszlás átlaga egy olyan eloszlású véletlen változó hosszú távú számtani átlagértéke. Ha a véletlen változót X {\ displaystyle X} jelöli, akkor az X {\ displaystyle X} várható értéke (E (X) {\ displaystyle E (X)} jelöléssel) is ismert. Diszkrét valószínűségi eloszlás esetén az átlagot ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)} adja meg, ahol az összeg átveszi a véletlen változó összes lehetséges értékét és P (x) {\ displaystyle P (x)} a valószínűség tömegfüggvénye. Folyamatos eloszlás esetén az átlag: ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, ahol f (x) { \ displaystyle f (x)} a valószínűségi sűrűség függvény. Minden esetben, beleértve azokat is, amelyekben az eloszlás nem diszkrét és nem folyamatos, az átlag a véletlen változó Lebesgue-integrálja annak valószínűségi mértékéhez képest.Az átlagnak nem kell léteznie, vagy végesnek kell lennie; Bizonyos valószínűségi eloszlások esetén az átlag végtelen (+ ∞ vagy −∞), míg másoknál az átlag nincs meghatározva. az általánosított átlag, más néven teljesítményátlag vagy Hölder-átlag, a másodfokú, számtani, geometriai és harmonikus eszközök absztrakciója. Az xi n pozitív szám halmazára

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

A választással Az m paraméter különböző értékei a következő típusú eszközöket kapják:

f-meanEdit

Ezt tovább általánosíthatjuk általánosított f-átlagként

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ balra ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ balra (x_ {i} \ jobbra}}} \ jobbra)}

és ismét egy megfelelő invertibilis f választás ad

Súlyozott számtani átlagEdit

A súlyozott számtani átlagot (vagy súlyozott átlagot) akkor alkalmazzuk, ha egyazon populáció különböző méretű mintáinak átlagértékeit akarjuk kombinálni:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Csonka meanEdit

Előfordulhat, hogy egy számkészlet tartalmazhat outliert (azaz olyan adatértékeket, amelyek sokkal alacsonyabbak vagy sokkal magasabbak, mint a mások). A kiugró értékek gyakran hibás adatok, amelyeket műtárgyak okoznak. Ebben az esetben csonka átlagot használhatunk. Ez magában foglalja az adatok adott részének eldobását a felső vagy az alsó végén, általában mindkét oldalon azonos mennyiséget, majd a fennmaradó adatok számtani átlagát veszi. Az eltávolított értékek száma az összes érték százalékában van megadva.

Interkvartilis meanEdit

Az interkvartilis átlag a csonka átlag konkrét példája. Ez egyszerűen a számtani átlag a legalacsonyabb és legmagasabb negyed eltávolítása után.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

feltételezve, hogy az értékek sorrendbe kerültek, ez egyszerűen egy speciális példa egy súlyozott átlagra egy adott súlykészlethez.

A functionEdit jelentése

Bizonyos körülmények között a matematikusok kiszámíthatják egy végtelen (vagy akár megszámlálhatatlan) értékkészlet átlagát. Ez akkor fordulhat elő, ha kiszámítja az f (x) {\ displaystyle f (x)} függvény y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} átlagértékét. Intuitív módon egy függvény átlagát úgy lehet elképzelni, hogy kiszámítja a görbe egy szakasza alatti területet, majd elosztja annak a szakasznak a hosszával. Ez durván megtehető a négyzetek gráfpapírra számolásával, pontosabban az integrációval. Az integrációs képlet a következő:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

Ebben az esetben ügyelni kell arra, hogy az integrál konvergáljon. De az átlag akkor is véges lehet, ha a függvény bizonyos pontokon végtelenbe hajlik. számtani számok hozzáadásához és egyéb módon történő kombinálásához. Mindezekben a helyzetekben nem lesz egyedi átlag. Például az éjfél előtti és utáni órák egyenlő távolságra vannak éjféltől és déltől egyaránt. Az is lehetséges, hogy nincs eszköz. Vegyünk egy színkereket – nincs értelme az összes szín halmazának. Ezekben a helyzetekben el kell döntenie, melyik átlag a leghasznosabb. Ezt úgy teheti meg, hogy az átlagolás előtt beállítja az értékeket, vagy speciális megközelítést alkalmaz a körkörös mennyiségek átlagára.

Fréchet meanEdit

A Fréchet átlag módot ad a ” egy tömeg eloszlásának középpontja egy felületen, vagy általánosabban, Riemannian sokaságban. Sok más eszköztől eltérően a Fréchet középértéket egy olyan téren határozzuk meg, amelynek elemei nem feltétlenül adhatók össze vagy skalárral szorozhatók meg. Néha Karcher-átlagnak is nevezik (Hermann Karcherről kapta a nevét). s ruleEdit

Ez a mérsékelten ferde eloszlás átlagának közelítése. Szénhidrogén-kutatásban használatos, és a következőképpen van meghatározva:

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

ahol P10, P50 és P90 az eloszlás 10., 50. és 90. percentilisei.

Egyéb eszközökEdit