Az elektromos mező egy nagyon hosszú, egyenletesen feltöltött vezetékvezeték közelében

Mint láttuk, a ponttöltés körüli elektromos tér gömbszimmetrikus és fordítottan arányos a A távolság négyzete. Két másik geometriai konfigurációt érdemes megnézni.

Ha “végtelenül hosszú” lineáris gyűjteményünk van az egyenletesen elosztott töltésről (vagyis egy hosszú töltésű vezetékről), akkor meghatározhatjuk a közeli elektromos mező integrálásával. Legyen egységnyi hosszúságú töltés λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs per méter.

A vezetéktől a b {\ displaystyle b} távolságban lévő adott ponton a térhez való hozzájárulás a d hosszúságú vezeték végtelen kis szelvényéből ℓ {\ displaystyle d \ ell}:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Ennek a vektornak a huzaltól merőlegesen mutató komponense:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ balra. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ jobbra | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

A mező merőlegesen mutat a huzaltól, és fordítottan arányos az elválasztási távolság első erejével.

a vezetéknek végtelen hosszúnak kell lennie? Nem; ez csak a végtelen határhoz való közelítés. A közelítés jó mindaddig, amíg az egyik sokkal közelebb van a vezetékhez, mint a vezeték hossza.

Az elektromos mező nagyon nagy, egyenletesen feltöltött PlaneEdit közelében

Egy másik nagyon fontos geometriai konfiguráció “végtelenül nagy” lapos sík, egyenletes töltéseloszlással. A síkot sok vékony párhuzamos, dl szélességű csíkra osztjuk. Ha a sík egységnyi területre eső töltéssűrűsége négyzetméterenként σ {\ displaystyle \ sigma} kulonc, a szalag lineáris töltéssűrűsége

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs per meter.

A Az előző szakasz és lényegében ugyanaz a diagram. A csíkok most már az oldalra / képernyőre futnak, vagy onnan kifelé, és a csíkok keresztmetszetei balról jobbra jelennek meg az ábrán. A mező az érdeklődés helyén a következő:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

A felfelé mutató komponens (szimmetria alapján a teljes mező merőlegesen mutat a sík):

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

A mező teljes felfelé mutató összetevőjét a következők integrálásával kapjuk meg:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ balra. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}}

A mező merőlegesen mutat a síktól, és független az elválasztási távolságtól. Vagyis független mindaddig, amíg az ember olyan közel marad a síkhoz, hogy szinte végtelennek tűnik.

Alkalmazás: Az elektromos mező egy párhuzamos lemezes kondenzátoron belülEdit

Newton törvényei azt feltételezik, hogy a nettó erő az összes erő összege, ma = ΣFj (j fölötti összeg). Mivel az E elektromos mezőt a Coulomb-féle törvény F = qE-n keresztül, a lehető legegyszerűbb feltételezés az, hogy az elektromos mező az egyes töltések miatt az egyes elektromos mezők összege. Ezt az elvet szuperpozíciónak (vagy lineáris szuperpozíciónak) nevezzük, és legalább az atommagnál kisebb méretig tart. Valójában implicit módon feltételeztük a szuperpozíciót azáltal, hogy integrálódunk, hogy megkapjuk az elektromos teret a vonal- és felszíni töltések miatt. Amint az az ábrán látható, az elektromos mezők konstruktív módon bővülnek a lemezek közötti térben.Roncsolóan hozzáadódnak (vagyis kivonnak) a két lemezen kívül, és nulla elektromos teret adnak hozzá. Ezért a lemezek közötti elektromos mező

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)