Független és egymást kizáró jelentések nem ugyanazt jelentik.

Független események

Két esemény független, ha a következők igazak:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A ÉS B) = P (A) P (B)

Két A és B esemény független, ha annak ismerete, hogy az egyik bekövetkezett, nem befolyásolja a másik bekövetkezésének esélyét. Például a fair die két szerepének kimenetele független esemény. Az első dobás eredménye nem változtatja meg a második dobás eredményének valószínűségét. Két esemény függetlenségének bemutatásához a fenti feltételek közül csak az egyiket kell megadnia.

Ha két esemény NEM független, akkor azt mondjuk, hogy függenek.

Mintavétel történhet pótlással vagy pótlás nélkül.

• Cserével: Ha a populáció minden tagját felváltják, akkor annak a tagnak lehetősége van többször is megválasztani. Ha a mintavételt helyettesítéssel végzik, akkor az eseményeket függetlennek tekintik, vagyis az első választás eredménye nem változtatja meg a második választás valószínűségét.
• Csere nélkül: Ha a mintavétel csere nélkül történik, akkor mindegyik a népesség egy tagját csak egyszer lehet megválasztani. Ebben az esetben a második választás valószínűségét befolyásolja az első választás eredménye. Az eseményeket függőnek vagy nem függetlennek tekintik.

Ha nem ismert, hogy A és B függetlenek-e, akkor feltételezzük, hogy függenek, amíg másképp nem tud mutatni.

1. Mintavétel cserével: Tegyük fel, hogy három kártyát választ cserével. Az első kártya, amelyet az 52 kártya közül választ, az
   pikk. Q. Visszateszi ezt a kártyát, átalakítja a kártyákat és kiválaszt egy második kártyát az 52 lapos pakliból. Ez a tíz klub. Visszateszi ezt a kártyát, átalakítja a kártyákat és kiválaszt egy harmadik kártyát az 52 lapos pakliból. Ezúttal a kártya ismét az ásók Q-ja. Választhat: {Q pikk, tíz klub, Q pikk “. Kétszer választotta az ásók Q értékét. Az egyes kártyákat az 52 kártyás pakliból választja ki.
2. Mintavétel csere nélkül: Tegyük fel, hogy három kártyát választ cseré nélkül. Az első kártya, amelyet az 52 kártya közül kiválaszt, a szívek K K-je. Félreteszi ezt a kártyát, és kiválasztja a második kártyát a pakliban maradt 51 kártya közül. Ez a három gyémánt. Félreteszi ezt a kártyát, és a pakli maradék 50 lapja közül kiválasztja a harmadik kártyát. A harmadik kártya a pikkek J-je. Válaszd: {K szív, három gyémánt, J pikk “. Mivel kicserélte a kártyákat, nem választhatja ugyanazt a kártyát kétszer.

1. Példa

1. Tegyük fel, hogy tudja, hogy a leszedett kártyák Q pikk, K szív és Q pikk. El tudja dönteni, hogy a mintavétel cserével történt-e vagy sem?
   Válasz megjelenítése

   Mintavétel cserével

2. Tegyük fel, hogy tudja, hogy a kiválasztott lapok Q pikkelyek, K szívek és J pikkek. El tudja dönteni, hogy a mintavétel cserével vagy anélkül történt-e? csere.

2. példa

1. Tegyük fel, hogy négy kártyát választ, de egyetlen kártyát sem tesz vissza a pakliba. Kártyái QS, 1D, 1C, QD.
2. Tegyük fel, hogy négy kártyát választ, és mindegyik kártyát visszahelyezi, mielőtt kiválasztaná a következő kártyát. Kártyái KH, 7D, 6D, KH.

1 vagy 2 közül melyiket mintázta cserével, és melyiket cseréje nélkül?

Ez a videó rövid tanulságot nyújt a független események valószínűségének megállapításáról.

Kölcsönösen kizáró események

Az A és B egymást kizáró események, ha nem fordulhatnak elő a Ugyanakkor. Ez azt jelenti, hogy A és B nem osztanak kimenetet, és P (A és B) = 0.

Tegyük fel például, hogy az S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Legyen A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} és C = {7, 9}.

Ha nem ismert, hogy A és B kölcsönösen kizárják-e egymást, akkor feltételezzük, hogy nem azok, amíg másképp nem tudja megmutatni. A következő példák szemléltetik ezeket a definíciókat és kifejezéseket.

3. Példa

Fordítson két tisztességes érmét. (Ez egy kísérlet.)

A mintaterület {HH, HT, TH, TT}, ahol T = farok és H = fej. A lehetséges eredmények a HH, HT, TH és TT. A HT és a TH eredményei eltérőek. A HT azt jelenti, hogy az első érme feje, a második érme farka. A TH azt jelenti, hogy az első érme farka, a második pedig fej.

4. Példa

Fordítson két tisztességes érmét.Keresse meg az események valószínűségét.

1. Legyen F = legfeljebb egy farok (nulla vagy egy farok) megszerzésének eseménye.
2. Legyen G = kettő megszerzésének eseménye ugyanazok az arcok.
3. Legyen H = az az esemény, amikor az első fejtetőn fejet kap, majd a második megfordul egy fej vagy farka.
4. F és G kizárják egymást ?
5. Legyen J = az összes farok megszerzésének eseménye. J és H kölcsönösen kizárják egymást?

Ez a videó még két példát mutat be az egymást kizáró események valószínűségének megállapítására.

5. Példa

Hengereljen egy tisztességes, hatoldalú kockát. A mintaterület {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Legyen esemény
A = egy arc furcsa. Ekkor A = {1, 3, 5}. Legyen B esemény = egy arc páros. Ekkor B = {2, 4, 6}.

6. Példa

Tipp: Ha G és H független, akkor a következők egyikét kell megmutatnia:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G ÉS H) = P (G) P ( H)

Mivel G és H függetlenek, az a tudat, hogy egy személy természettudományi órákat jár, nem változtatja meg annak esélyét, hogy matematikaórára jár. Ha a két esemény nem lett volna független (vagyis függőek), akkor annak ismerete, hogy egy személy természettudományi osztályba jár, megváltoztatná a matematika esélyét.

7. Példa

Hagyja, hogy a C = angol nyelvtanfolyam legyen. Legyen D = beszédosztályba vétel.

Tegyük fel, hogy P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 és P (C ÉS D) = 0,225.

Számszerűen igazolja a következő kérdésekre adott válaszait.

8. példa

Egy mezőben három piros és öt kék kártya található. A piros lapokat az 1, 2 és 3, a kék kártyákat az 1, 2, 3, 4 és 5 számokkal jelöltük. A kártyák jól összekevertek. Belenyúl a dobozba (nem láthat benne), és húz egy kártyát.

Húzza ki az R = piros lapot, B = a kék kártyát, az E = páros kártyát.

Az S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5 mintaterület. S-nek nyolc eredménye van.

9. Példa

Egy adott főiskolai osztályban az oktatás 60% -a udens nők. Az osztály tanulóinak ötven százaléka hosszú hajú. A hallgatók 45 százaléka nő és hosszú hajú. A diáklányok 75% -ának hosszú a haja. Legyen F az az esemény, amikor egy diák nő. Legyen L az az esemény, amikor egy diáknak hosszú haja van. Az egyik diákot véletlenszerűen választják ki. Női és hosszú hajú események függetlenek-e egymástól?

• Ebben a példában a következő valószínűségeket közöljük:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F és L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Az eredmények értelmezése

A női élet és a hosszú haj eseményei nem függetlenek; annak tudása, hogy egy diák nő, megváltoztatja annak valószínűségét, hogy egy diáknak hosszú haja van.

10. példa

A Gallup adatai. Elérhető online a www.gallup.com/ címen (hozzáférés: 2013. május 2.).

Koncepció áttekintés

Két A és B esemény független, ha az egyik bekövetkezésének ismerete nem befolyásolja véletlen, hogy a másik bekövetkezik. Ha két esemény nem független, akkor azt mondjuk, hogy függenek.

A helyettesítéssel végzett mintavétel során a populáció minden tagját kicserélik, miután kiválasztották, így annak a tagnak lehetősége van arra, hogy többet válasszanak, mint egyszer, és az eseményeket függetlennek tekintik. A helyettesítés nélküli mintavétel során a populáció minden tagját csak egyszer lehet megválasztani, és az eseményeket nem tekintjük függetlennek. Ha az események nem osztják meg az eredményeket, akkor kölcsönösen kizárják egymást. (B), P (A | B) = P (A) és P (B | A) = P (B).

Ha A és B kizárják egymást, akkor P (A OR B) = P (A) + P (B) és P (A ÉS B) = 0.