MATH 1314: Főiskolai algebra
Míg a függőleges aszimptoták leírják a gráf viselkedését, amikor a kimenet nagyon nagy vagy nagyon kicsi lesz, a vízszintes aszimptoták segítenek a gráf viselkedését a a bemenet nagyon nagy vagy nagyon kicsi. Emlékezzünk vissza arra, hogy a polinom végső viselkedése tükrözi a vezető kifejezés viselkedését. Hasonlóképpen, a racionális függvény végső viselkedése tükrözi a számláló és a nevező függvények vezető kifejezéseinek arányát.
A vízszintes aszimptoták ellenőrzésénél három különböző eredmény van:
Eset 1: Ha a nevező mértéke > a számláló fokozata, akkor vízszintes aszimptota van az y = 0 értéknél.
2. eset: Ha a számláló nevezőjének mértéke < a számláló fokozata egy, akkor ferde aszimptotát kapunk.
Vegyük észre, hogy bár egy racionális függvény grafikonja soha nem fog keresztezni egy függőleges aszimptotát, a grafikon vízszintesen vagy ferdén keresztezheti, vagy nem. ymptote. Ezenkívül bár egy racionális függvény grafikonjának sok függőleges aszimptotája lehet, a grafikonnak legfeljebb egy vízszintes (vagy ferde) aszimptotája lesz.
Meg kell jegyezni, hogy ha a számláló foka nagyobb mint a nevező mértéke egynél több, a grafikon végi viselkedése utánozza a csökkent vég-viselkedési frakció viselkedését. Például, ha megvolt a
végződéssel
a grafikon végső viselkedése hasonlít egy pozitív vezető együtthatójú egyenletes polinomhoz.
Általános megjegyzés: A racionális függvények vízszintes tünetei
A racionális függvény vízszintes aszimptotája lehet a számláló és a nevező fokozatainak megnézésével határozható meg.
- A számláló foka kisebb, mint a nevező foka: vízszintes aszimptota y = 0-nál.
- A számláló foka nagyobb, mint egy nevező mértéke: nincs vízszintes aszimptota; ferde aszimptota.
- A számláló foka megegyezik a nevező fokozatával: vízszintes aszimptota a vezető együtthatók arányában.
9. példa: Vízszintes és függőleges aszimptoták azonosítása
Keresse meg a függvény vízszintes és függőleges aszimptotáit
megoldás
Először is vegye figyelembe, hogy ennek a függvénynek nincsenek közös tényezői, ezért nincsenek potenciálisan eltávolítható folytonosságok.
A függvénynek függőleges aszimptotái lesznek, ha a nevező nulla, ami a funkció definiálatlanná válik. A nevező nulla lesz az x = 1, -2 értéknél, a szöveg {és} 5 \, ami függőleges aszimptotákat jelez ezeknél az értékeknél.
A számláló 2, míg a nevező 3 fokos. A nevező nagyobb, mint a számláló mértéke, a nevező gyorsabban növekszik, mint a számláló, ami a kimenetek nulla felé hajlik, mivel a bemenetek nagyok lesznek, és így az xto pm infty, flft (xright) 0 \ -ra. Ennek a függvénynek vízszintes aszimptotája lesz az y = 0 \ értéknél.
15. ábra
Általános megjegyzés: A racionális függvények elfogása
A racionális függvénynek y-metszete lesz, amikor a bemenet nulla, ha a függvény értéke nulla. A racionális függvénynek nincs y-metszete, ha a függvény nincs nullán definiálva.
Hasonlóképpen, a racionális függvénynek x-metszete lesz a bemeneteknél, amelyek a kimenetet nullára teszik. Mivel a törtrész csak akkor nulla, ha a számláló nulla, az x-lehallgatások csak akkor fordulhatnak elő, ha a racionális függvény számlálója nulla.
Próbálja ki 7
Ha a reciprok négyzet függvényt 3 egységgel jobbra és 4 egységet lefelé toljuk, írjuk ezt racionális függvényként. Ezután keresse meg az x– és y metszeteket, valamint a vízszintes és függőleges aszimptotákat.
Megoldás