Megosztott születésnapok
Ez egy nagy rejtvény, és sokat megtudhat az út során előforduló valószínűségről …
30 ember van egy szobában … milyen esély van arra, hogy bármelyikük ugyanazon a napon ünnepelje születésnapját? Tegyük fel, hogy egy évben 365 nap van.
Néhány ember gondolhatja :
“30 ember van, és 365 nap, tehát a 30/365 jól hangzik.
Melyik 30/365 = 0,08 …, így körülbelül 8%?”
De nem!
A valószínűség sokkal nagyobb.
Valószínűleg vannak olyan emberek, akik születésnapot osztanak meg abban a szobában.
 |
Mivel mindenkit össze kell hasonlítanod mindenkivel. És 30 emberrel ez 435 összehasonlítás. De arra is ügyelned kell, hogy ne számold túl a esélyek. |
Megmutatom, hogyan kell csinálni. .. kezdve egy kisebb példával:
Barátok és véletlen számok
4 barát (Alex, Billy, Chris és Dusty) egy-egy véletlen számot választ 1 és 5 között. Mennyi az esély arra, hogy bármelyikük a samot választotta e szám?
Egyenként felvesszük a barátainkat …
Először is, mekkora az esély arra, hogy Alex és Billy azonos számmal rendelkezzen?
Billy összehasonlítja a számát Alex számával. A mérkőzésre 1: 5 az esély.
Fa diagramként:
Megjegyzés : Az “Igen” és a “Nem” együtt 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Most vegyük bele Chris-t is …
De most két esetet kell megfontolni (az úgynevezett “Feltételes Valószínűség”):
- Ha Alex és Billy egyezett, Chrisnek csak egy száma van, amivel összehasonlítani lehet.
- De ha Alex és Billy nem egyezett, akkor Chrisnek két számát kell összehasonlítani.
És ezt kapjuk:
A legfelső sorhoz (Alex és Billy egyezett) már van meccsünk (1/5 esély).
De az “Alex és Billy nem találta össze az esetet: “van 2 olyan szám, amellyel Chris mérkőzhetne, tehát 2/5-es esélye van Chris egyezésére (Alex és Billy ellen egyaránt). És 3/5-ös esély a nem egyezésre.
És az együttes esélyt úgy tudjuk kidolgozni, hogy megszorozzuk az odajutáshoz szükséges esélyeket:
A “Nem, igen” utat követve … van egy 4/5-ös esély o f Nem, majd 2/5-es esély az Igen után:
Követés a “nem, nem” útvonal … 4/5-es esély van a nemre, majd 3/5-es esély van a nemre:
Vegye figyelembe azt is, hogy az összes esély összeadása 1 (jó ellenőrzés, hogy nem hibáztunk):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Most mi történik, ha Dustyt is beleszámítjuk?
Ugyanaz az ötlet, csak még több:
OK, ez mind a 4 barát, és az “Igen” esélyek együttesen a 101/125:
Válasz: 101/125
És ez egy népszerű trükk a valószínűségben:
Gyakran könnyebb kidolgozni a “Nem” esetet
(és kivonni az 1-ből az “Igen” esetre)
És most megpróbálhatjuk kiszámolni a “Megosztott születésnap” kérdést, amellyel kezdtük:
Tehát 30 ember valószínűsége körülbelül 70%.
És 23 ember valószínűsége körülbelül 50%.
És 57 ember valószínűsége 99% (almos t biztos!)
Szimuláció
Ezt véletlenszámok segítségével is szimulálhatjuk. Próbáld ki te is itt, használd a 30-at és a 365-t, és nyomd meg a Go gombot Ezer véletlenszerű próbát futtatnak és megadják az eredményeket.
Kipróbálhatja a többi példát is fentről, például a 4. és 5. példát a „Barátok és véletlenszerű számok” szimulálására.
For Real
Ha legközelebb egy szobában tartózkodsz egy embercsoporttal, miért nem tudod meg, hogy vannak-e közös születésnapok?