AlgebraEdit

GroupsEdit

Adott egy G {\ displaystyle G} csoport és egy G n {\ displaystyle G_ {n}} szűrés, természetes módon meg lehet határozni a G {\ displaystyle G} topológiáját, amely állítólag társítva van a szűrés. Ennek a topológiának az alapja a szűrésben megjelenő összes alcsoport fordításának halmaza, vagyis a G {\ displaystyle G} részhalmaza nyitottnak van definiálva, ha ez egy G n {\ formájú halmazok egyesítése. displaystyle aG_ {n}}, ahol egy ∈ G {\ displaystyle a \ in G} és n {\ displaystyle n} természetes szám.

A G csoport szűréséhez társított topológia {\ A displaystyle G} a G {\ displaystyle G} -t topológiai csoportokká teszi.

Gyűrűk és modulok: csökkenő szűrésekEdit

Adott egy R {\ displaystyle R} és egy R {\ displaystyle gyűrű R} -modul M {\ displaystyle M}, az M {\ displaystyle M} csökkenő szűrése az M n {\ displaystyle M_ {n}} almodulok csökkenő sorozata. Ez tehát a csoportok fogalmának speciális esete, azzal a további feltétellel, hogy az alcsoportok részmodulok legyenek. A társított topológia a csoportokra vonatkozik.

Gyűrűk és modulok: növekvő filtrationsEdit

SetsEdit

Measure theoryEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implicit {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Az “idők” pontos tartománya t {\ displaystyle t} általában a kontextustól függ: a t {\ displaystyle t} értékkészlete lehet diszkrét vagy folytonos, határolt vagy korlátlan. Például

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 vagy {\ mbox {vagy}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

A σ-algebra meghatározza a mérhető események halmazát, amely egy valószínűségi összefüggésben egyenértékű a megkülönböztethető eseményekkel, vagy a „t időben megválaszolható kérdésekkel {\ displaystyle t } “. Ezért gyakran szűrést alkalmaznak a mérhető események változásának ábrázolására, az információk megszerzése vagy elvesztése révén. Tipikus példa a matematikai pénzügyekre, ahol a szűrés a t {\ displaystyle t} időpontig rendelkezésre álló információkat jeleníti meg, és egyre pontosabb (a mérhető események halmaza ugyanaz vagy növekszik), mint több információ a részvényár alakulása válik elérhetővé.

Kapcsolódás a megállási időkhöz: megállási idő sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ bal \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ itt: {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.