Compleanni condivisi
Questo è un grande enigma e lungo la strada imparerai molto sulla probabilità …
Ci sono 30 persone in una stanza … qual è la possibilità che due di loro festeggino il loro compleanno lo stesso giorno? Supponiamo 365 giorni all’anno.
Alcune persone potrebbero pensare :
“ci sono 30 persone e 365 giorni, quindi 30/365 sembra giusto.
Che è 30/365 = 0,08 …, quindi circa l’8% forse?”
Ma no!
La probabilità è molto più alta.
In realtà è probabile che ci siano persone che condividono un compleanno in quella stanza.
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Perché dovresti confrontare tutti con tutti gli altri. E con 30 persone si tratta di 435 confronti. Ma devi anche fare attenzione a non esagerare con possibilità. |
Ti mostrerò come farlo. .. partendo da un esempio più piccolo:
Amici e numeri casuali
4 amici (Alex, Billy, Chris e Dusty) scelgono ciascuno un numero casuale compreso tra 1 e 5. Qual è la possibilità che qualcuno di loro abbia scelto lo stesso e numero?
Aggiungeremo i nostri amici uno alla volta …
Innanzitutto, qual è la possibilità che Alex e Billy abbiano lo stesso numero?
Billy confronta il suo numero con il numero di Alex. C’è 1 possibilità su 5 di una corrispondenza.
Come diagramma ad albero:
Nota : “Sì” e “No” insieme formano 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ora, includiamo Chris …
Ma ora ci sono due casi da considerare (chiamati “Probabilità condizionale”):
- Se Alex e Billy coincidono, Chris ha un solo numero da confrontare.
- Ma se Alex e Billy non corrispondono, Chris ha due numeri da confrontare.
E otteniamo questo:
Per la linea superiore (Alex e Billy hanno coinciso) abbiamo già una corrispondenza (una possibilità di 1/5).
Ma per “Alex e Billy non ha trovato “caso ci sono 2 numeri con cui Chris potrebbe corrispondere, quindi c’è una possibilità di 2/5 che Chris corrisponda (contro Alex e Billy). E una possibilità di 3/5 di non corrispondere.
E possiamo calcolare la possibilità combinata moltiplicando le possibilità necessarie per arrivarci:
Seguendo il percorso “No, Sì” … c’è una possibilità 4/5 o f No, seguito da 2/5 possibilità di Sì:
Stai seguendo il percorso “No, No” … c’è una possibilità di 4/5 di No, seguita da una possibilità di 3/5 di No:
Notare anche che sommando tutte le possibilità insieme è 1 (un buon controllo che non abbiamo commesso un errore):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Ora cosa succede quando includiamo Dusty?
È la stessa idea, solo di più:
OK, sono tutti e 4 gli amici, e le possibilità “Sì” insieme fanno 101/125:
Risposta: 101/125
E questo è un popolare trucco di probabilità:
Spesso è più facile capire il caso “No”
(e sottrarre da 1 per il caso “Sì”)
E ora possiamo provare a calcolare la domanda “Compleanno condiviso” con cui abbiamo iniziato:
Quindi la probabilità per 30 persone è di circa il 70%.
E la probabilità per 23 persone è di circa il 50%.
E la probabilità per 57 persone è del 99% (almos certo!)
Simulazione
Possiamo anche simulare questo usando numeri casuali. Provalo tu stesso qui, usa 30 e 365 e premi Vai. Verranno eseguite migliaia di prove casuali e verranno forniti i risultati.
Puoi anche provare gli altri esempi dall’alto, come 4 e 5 per simulare “Amici e numeri casuali”.
Per davvero
La prossima volta che sei in una stanza con un gruppo di persone, perché non scoprire se ci sono compleanni condivisi?