AlgebraEdit

GroupsEdit

Dato un gruppo G {\ displaystyle G} e un filtro G n {\ displaystyle G_ {n}}, esiste un modo naturale per definire una topologia su G {\ displaystyle G}, che si dice sia associata al filtrazione. Una base per questa topologia è l’insieme di tutte le traduzioni dei sottogruppi che compaiono nel filtraggio, cioè, un sottoinsieme di G {\ displaystyle G} è definito aperto se è un’unione di insiemi della forma a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, dove a ∈ G {\ displaystyle a \ in G} en {\ displaystyle n} è un numero naturale.

La topologia associata a un filtro su un gruppo G {\ displaystyle G} trasforma G {\ displaystyle G} in un gruppo topologico.

Anelli e moduli: filtri discendentiModifica

Dato un anello R {\ displaystyle R} e un R {\ displaystyle R} -module M {\ displaystyle M}, un filtraggio discendente di M {\ displaystyle M} è una sequenza decrescente di sottomoduli M n {\ displaystyle M_ {n}}. Questo è quindi un caso speciale della nozione di gruppi, con l’ulteriore condizione che i sottogruppi siano sottomoduli. La topologia associata è definita come per i gruppi.

Anelli e moduli: filtri ascendentiEdit

SetsEdit

Teoria delle misureEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implica {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

L’intervallo esatto dei “tempi” t {\ displaystyle t} dipenderà solitamente dal contesto: l’insieme di valori per t {\ displaystyle t} potrebbe essere discreto o continuo, limitato o illimitato. Ad esempio,

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 o {\ mbox {o}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Una σ-algebra definisce l’insieme di eventi che possono essere misurati, che in un contesto di probabilità è equivalente agli eventi che possono essere discriminati, o “domande a cui è possibile rispondere al tempo t {\ displaystyle t } “. Pertanto, un filtraggio viene spesso utilizzato per rappresentare il cambiamento nell’insieme di eventi che possono essere misurati, attraverso il guadagno o la perdita di informazioni. Un tipico esempio è nella finanza matematica, dove un filtro rappresenta le informazioni disponibili fino a includere ogni volta t {\ displaystyle t}, ed è sempre più preciso (l’insieme di eventi misurabili rimane lo stesso o aumenta) come più informazioni dall’evoluzione del prezzo dell’azione diventa disponibile.

Relazione con i tempi di arresto: tempo di arresto sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.