Legge di Coulomb
Il campo elettrico vicino a un filo molto lungo a carica uniforme Modifica
Come abbiamo visto, il campo elettrico attorno a una carica puntiforme è sfericamente simmetrico e inversamente proporzionale a il quadrato della distanza. Ci sono altre due configurazioni geometriche che vale la pena guardare.
Se abbiamo una raccolta lineare “infinitamente lunga” di carica uniformemente distribuita (cioè un lungo filo carico), possiamo determinare il campo elettrico vicino per integrazione. Sia la carica per unità di lunghezza λ {\ Displaystyle \ lambda} coulomb per metro.
Integrazione lungo una linea carica per trovare il campo elettrico
In un dato punto alla distanza b {\ displaystyle b} dal filo, il contributo al campo da una sezione infinitesimale di filo di lunghezza d ℓ {\ displaystyle d \ ell} è:
dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}
La componente di quel vettore che punta perpendicolarmente lontano dal filo è:
λ 4 π ϵ R 2 sin θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}
Il campo punta perpendicolarmente lontano dal filo ed è inversamente proporzionale alla prima potenza della distanza di separazione.
il filo deve essere infinitamente lungo? No; questa è solo un’approssimazione del limite infinito. L’approssimazione è buona fintanto che uno è molto più vicino al filo della lunghezza del filo.
Il campo elettrico vicino a un piano molto grande a carica uniformeModifica
Un’altra configurazione geometrica molto importante è un piano piatto “infinitamente grande” con distribuzione di carica uniforme. Dividiamo il piano in molte strisce parallele sottili di larghezza dl. Se la densità di carica per unità di superficie del piano è σ {\ displaystyle \ sigma} coulomb per metro quadrato, ciascuno striscia ha una densità di carica lineare di
λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}
coulomb per metro.
Usiamo il risultato del sezione precedente, ed essenzialmente lo stesso diagramma. Le strisce ora entrano o escono dalla pagina / schermo e le sezioni trasversali delle strisce appaiono da sinistra a destra nel diagramma. Il campo nel punto di interesse è:
λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}
La componente ascendente (per simmetria il campo totale punterà perpendicolarmente fuori dal piano) è:
σ 2 π ϵ R sin θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}
La componente ascendente totale del campo si ottiene integrando:
E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ sinistra. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}
Il campo punta perpendicolarmente lontano dal piano ed è indipendente dalla distanza di separazione. Cioè, è indipendente fintanto che si rimane così vicini al piano da sembrare quasi infinito.
Applicazione: il campo elettrico all’interno di un condensatore a piastre parallele Modifica
I campi elettrici causati dalle due piastre di un condensatore a piastre parallele si sommano nella regione tra le piastre e si sottraggono nella regione al di fuori delle piastre.
Le leggi di Newton presuppongono che la forza netta sia la somma di tutte le forze, ma = ΣFj (somma su j). Poiché il campo elettrico, E, è definito attraverso Per legge di Coulomb tramite F = qE, l’ipotesi più semplice possibile è che il campo elettrico sia la somma dei singoli campi elettrici dovuti a ciascuna carica. Questo principio è chiamato sovrapposizione (o sovrapposizione lineare) e vale almeno per le dimensioni più piccole del nucleo atomico. Infatti, abbiamo implicitamente assunto la sovrapposizione integrandola per ottenere il campo elettrico dovuto alle cariche di linea e di superficie. Come mostrato in figura, i campi elettrici si sommano in modo costruttivo nello spazio tra le piastre.Aggiungono distruttivamente (cioè sottraggono) all’esterno delle due piastre e aggiungono a zero il campo elettrico. Pertanto il campo elettrico tra le piastre è
E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)