MATH 1314: College Algebra (Italiano)
Mentre gli asintoti verticali descrivono il comportamento di un grafico quando l’output diventa molto grande o molto piccolo, gli asintoti orizzontali aiutano a descrivere il comportamento di un grafico come il l’input diventa molto grande o molto piccolo. Ricorda che il comportamento finale di un polinomio rispecchierà quello del termine principale. Allo stesso modo, il comportamento finale di una funzione razionale rispecchierà quello del rapporto tra i termini iniziali delle funzioni numeratore e denominatore.
Ci sono tre risultati distinti quando si controllano gli asintoti orizzontali:
Caso 1: se il grado del denominatore > grado del numeratore, è presente un asintoto orizzontale in y = 0.
Caso 2: se il grado del denominatore < grado del numeratore per uno, otteniamo un asintoto inclinato.
Si noti che, mentre il grafico di una funzione razionale non attraverserà mai un asintoto verticale, il grafico può o non può attraversare un orizzontale o inclinato come ymptote. Inoltre, sebbene il grafico di una funzione razionale possa avere molti asintoti verticali, il grafico avrà al massimo un asintoto orizzontale (o inclinato).
Va notato che, se il grado del numeratore è maggiore rispetto al grado del denominatore di più di uno, il comportamento finale del grafico imiterà il comportamento della frazione di comportamento finale ridotta. Ad esempio, se avessimo la funzione
con comportamento finale
il comportamento finale del grafico sarebbe simile a quello di un polinomio pari con un coefficiente iniziale positivo.
Una nota generale: asintoti orizzontali di funzioni razionali
L’asintoto orizzontale di una funzione razionale può essere determinato osservando i gradi del numeratore e denominatore.
- Il grado del numeratore è inferiore al grado del denominatore: l’asintoto orizzontale in y = 0.
- Il grado del numeratore è maggiore del grado di denominatore di uno: nessun asintoto orizzontale; asintoto obliquo.
- Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore: asintoto orizzontale al rapporto dei coefficienti principali.
Esempio 9: identificazione degli asintoti orizzontali e verticali
Trova gli asintoti orizzontali e verticali della funzione
Soluzione
Per prima cosa, nota che questa funzione non ha fattori comuni, quindi non ci sono potenziali discontinuità rimovibili.
La funzione avrà asintoti verticali quando il denominatore è zero, rendendo la funzione indefinita. Il denominatore sarà zero in x = 1, -2, testo {e} 5 \, indicando asintoti verticali a questi valori.
Il numeratore ha grado 2, mentre il denominatore ha grado 3. Poiché il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore, il denominatore crescerà più velocemente del numeratore, facendo sì che le uscite tendano verso lo zero man mano che gli ingressi diventano grandi, e quindi xto pm infty, fluttua (xright) a 0 \. Questa funzione avrà un asintoto orizzontale in y = 0 \.
Figura 15
Una nota generale: intercettazioni di funzioni razionali
Una funzione razionale avrà un’intercetta y quando l’input è zero, se la funzione è definita a zero. Una funzione razionale non avrà un’intercetta y se la funzione non è definita a zero.
Allo stesso modo, una funzione razionale avrà intercette x agli input che fanno sì che l’output sia zero. Poiché una frazione è uguale a zero solo quando il numeratore è zero, le intercettazioni x possono verificarsi solo quando il numeratore della funzione razionale è uguale a zero.
Prova 7
Data la funzione reciproca al quadrato che è spostata a destra di 3 unità e in basso di 4 unità, scrivila come una funzione razionale. Quindi, trova le intercette x e y e gli asintoti orizzontali e verticali.
Soluzione