Pitagora Modifica

Media aritmetica (AM) Modifica

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sinistra ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Ad esempio, la media aritmetica di cinque valori: 4, 36, 45, 50, 75 è:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Modifica media geometrica (GM)

La media geometrica è una media che è utile per insiemi di numeri positivi, che vengono interpretati in base al loro prodotto (come nel caso dei tassi di crescita) e non alla loro somma (come nel caso della media aritmetica):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Ad esempio, il mea geometrico n di cinque valori: 4, 36, 45, 50, 75 è:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24300000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ times 36 \ volte 45 \ volte 50 \ volte 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Modifica media armonica (HM)

La media armonica è una media utile per insiemi di numeri che sono definiti in relazione a qualche unità, come nel caso della velocità (cioè, distanza per unità di tempo):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ sinistra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Ad esempio, la media armonica dei cinque valori: 4, 36, 45, 50, 75 è

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relazione tra AM, GM e HMEdit

AM, GM e HM soddisfano queste disuguaglianze:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

L’uguaglianza vale se e solo se tutti gli elementi del dato campione sono uguali.

Statistical locationEdit

Nelle statistiche descrittive, la media può essere confusa con la mediana, la modalità o la fascia media, poiché ognuna di queste può essere chiamata “media” (più formalmente, una misura della tendenza centrale). La media di un insieme di osservazioni è la media aritmetica dei valori; tuttavia, per le distribuzioni asimmetriche, la media non è necessariamente la stessa del valore medio (mediana) o del valore più probabile (modalità). Ad esempio, il reddito medio è tipicamente sbilanciato verso l’alto da un piccolo numero di persone con redditi molto elevati, in modo che la maggioranza abbia un reddito inferiore alla media. Al contrario, il reddito mediano è il livello al quale metà della popolazione è inferiore e metà è superiore. La modalità reddito è il reddito più probabile e favorisce il maggior numero di persone con redditi inferiori. Sebbene la mediana e la modalità siano spesso misure più intuitive per tali dati distorti, molte distribuzioni distorte sono in effetti meglio descritte dalla loro media, comprese le distribuzioni esponenziale e di Poisson.

Media di una distribuzione di probabilitàModifica

La media di una distribuzione di probabilità è il valore medio aritmetico di lungo periodo di una variabile casuale avente quella distribuzione. Se la variabile casuale è indicata con X {\ displaystyle X}, allora è anche conosciuta come il valore atteso di X {\ displaystyle X} (denotato E (X) {\ displaystyle E (X)}). Per una distribuzione di probabilità discreta, la media è data da ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, dove la somma è presa su tutti i possibili valori della variabile casuale e P (x) {\ displaystyle P (x)} è la funzione di massa di probabilità. Per una distribuzione continua, la media è ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, dove f (x) { \ displaystyle f (x)} è la funzione di densità di probabilità. In tutti i casi, inclusi quelli in cui la distribuzione non è né discreta né continua, la media è l’integrale di Lebesgue della variabile aleatoria rispetto alla sua misura di probabilità.La media non deve esistere o essere finita; per alcune distribuzioni di probabilità la media è infinita (+ ∞ o −∞), mentre per altre la media è indefinita.

Media generalizzata Modifica

Modifica media potenza

La La media generalizzata, nota anche come media della potenza o media di Hölder, è un’astrazione delle medie quadratiche, aritmetiche, geometriche e armoniche. È definito per un insieme di n numeri positivi xi da

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Scegliendo valori diversi per il parametro m, si ottengono i seguenti tipi di medie:

f-meanEdit

Questo può essere ulteriormente generalizzato come f-mean generalizzato

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

e di nuovo una scelta appropriata di un invertibile f darà

Media aritmetica ponderata

La media aritmetica ponderata (o media ponderata) viene utilizzata se si desidera combinare i valori medi di campioni di dimensioni diverse della stessa popolazione:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Truncated meanEdit

A volte, un insieme di numeri potrebbe contenere valori anomali (ad esempio, valori di dati che sono molto inferiori o molto superiori al altri). Spesso, i valori anomali sono dati errati causati da artefatti. In questo caso, si può usare una media troncata. Si tratta di scartare determinate parti dei dati nella parte superiore o inferiore, tipicamente una quantità uguale a ciascuna estremità e quindi prendere la media aritmetica dei dati rimanenti. Il numero di valori rimossi è indicato come percentuale del numero totale di valori.

Interquartile meanEdit

La media interquartile è un esempio specifico di media troncata. È semplicemente la media aritmetica dopo aver rimosso il quarto di valore più basso e quello più alto.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

supponendo che i valori siano stati ordinati, quindi è semplicemente un esempio specifico di media ponderata per un insieme specifico di pesi.

Media di una funzione Modifica

In alcune circostanze, i matematici possono calcolare la media di un insieme di valori infinito (o anche non numerabile). Questo può accadere quando si calcola il valore medio y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} di una funzione f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivamente, una media di una funzione può essere pensata come il calcolo dell’area sotto una sezione di una curva e quindi la divisione per la lunghezza di quella sezione. Questo può essere fatto grossolanamente contando i quadrati su carta millimetrata, o più precisamente mediante integrazione. La formula di integrazione è scritta come:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

In questo caso, bisogna fare attenzione per assicurarsi che l’integrale converga. Ma la media può essere finita anche se la funzione stessa tende all’infinito in alcuni punti.

Media degli angoli e quantità cicliche Modifica

Angoli, ore del giorno e altre quantità cicliche richiedono un modulare aritmetica per aggiungere e altrimenti combinare numeri. In tutte queste situazioni, non ci sarà un mezzo unico. Ad esempio, gli orari di un’ora prima e dopo la mezzanotte sono equidistanti sia da mezzanotte che da mezzogiorno. È anche possibile che non esista alcun mezzo. Considera una ruota dei colori: non c’è alcun significato per l’insieme di tutti i colori. In queste situazioni, devi decidere quale media è più utile. Puoi farlo regolando i valori prima di calcolare la media o utilizzando un approccio specializzato per la media delle quantità circolari.

Fréchet meanEdit

La media di Fréchet fornisce un modo per determinare il ” centro “di una distribuzione di massa su una superficie o, più in generale, varietà Riemanniana. A differenza di molti altri mezzi, la media di Fréchet è definita su uno spazio i cui elementi non possono essere necessariamente sommati o moltiplicati per scalari. A volte è anche conosciuta come la media di Karcher (dal nome di Hermann Karcher).

Swanson ” s ruleEdit

Questa è un’approssimazione della media per una distribuzione moderatamente asimmetrica. Viene utilizzata nell’esplorazione di idrocarburi ed è definita come

m = 0.3 P 10 + 0.4 P 50 + 0.3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

dove P10, P50 e P90 10 °, 50 ° e 90 ° percentile della distribuzione.

Altri mezziModifica