Indipendente e si escludono a vicenda non significano la stessa cosa.

Eventi indipendenti

Due eventi sono indipendenti se i seguenti sono vere:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A AND B) = P (A) P (B)

Due eventi A e B sono indipendenti se la consapevolezza che uno si è verificato non influisce sulla possibilità che si verifichi l’altro. Ad esempio, i risultati di due ruoli di un dado equo sono eventi indipendenti. Il risultato del primo lancio non cambia la probabilità per il risultato del secondo lancio. Per mostrare che due eventi sono indipendenti, devi mostrare solo una delle condizioni precedenti.

Se due eventi NON sono indipendenti, allora diciamo che sono dipendenti.

Il campionamento può essere fatto con sostituzione o senza sostituzione.

• Con sostituzione: se ogni membro di una popolazione viene sostituito dopo essere stato scelto, allora quel membro ha la possibilità di essere scelto più di una volta. Quando il campionamento viene eseguito con la sostituzione, gli eventi sono considerati indipendenti, il che significa che il risultato della prima scelta non cambierà le probabilità per la seconda.
• Senza sostituzione: quando il campionamento viene eseguito senza sostituzione, ciascuno membro di una popolazione può essere scelto una sola volta. In questo caso, le probabilità per la seconda scelta sono influenzate dal risultato della prima scelta. Gli eventi sono considerati dipendenti o non indipendenti.

Se non è noto se A e B sono indipendenti o dipendenti, presumi che siano dipendenti fino a quando non puoi dimostrare il contrario.

1. Campionamento con sostituzione: supponi di scegliere tre carte con sostituzione. La prima carta che scegli tra le 52 carte è la
   Q di picche. Rimetti questa carta, rimescola le carte e scegli una seconda carta dal mazzo di 52 carte. È il dieci di fiori. Rimetti questa carta, rimescola le carte e scegli una terza carta dal mazzo da 52 carte. Questa volta, la carta è di nuovo la Q di picche. Le tue scelte sono {Q di picche, dieci di fiori, Q di picche}. Hai scelto due volte la Q di picche. Scegli ogni carta dal mazzo da 52 carte.
2. Campionamento senza sostituzione: supponi di scegliere tre carte senza sostituzione. La prima carta che scegli tra le 52 carte è la
   K di cuori. Metti questa carta da parte e scegli la seconda carta tra le 51 carte rimaste nel mazzo. È il tre di quadri. Metti questa carta da parte e scegli la terza carta dalle restanti 50 carte del mazzo. La terza carta è il J di picche. Le tue scelte sono {K di cuori, tre di quadri, J di picche}. Poiché hai scelto le carte senza rimpiazzarle, non puoi prendere la stessa carta due volte.

Esempio 1

1. Supponi di sapere che le carte scelte sono Q di picche, K di cuori e Q di picche. Puoi decidere se il campionamento fosse con o senza sostituzione?
   Mostra risposta

   Campionamento con sostituzione

2. Supponi di sapere che le carte scelte sono Q di picche, K di cuori e J di picche. Puoi decidere se il campionamento fosse con o senza sostituzione?
   Mostra risposta

   No, non possiamo dire se il campionamento era con o senza sostituzione.

Esempio 2

1. Supponi di scegliere quattro carte, ma non rimettere nessuna carta nel mazzo. Le tue carte sono QS, 1D, 1C, QD.
2. Supponi di scegliere quattro carte e rimetterle a posto prima di scegliere la carta successiva. Le tue carte sono KH, 7D, 6D, KH.

Quale di 1 o 2 hai campionato con la sostituzione e quale hai provato senza sostituzione?

Questo video fornisce una breve lezione su come trovare la probabilità di eventi indipendenti.

Eventi che si escludono a vicenda

A e B sono eventi che si escludono a vicenda se non possono verificarsi al contemporaneamente. Ciò significa che A e B non condividono alcun risultato e P (A AND B) = 0.

Ad esempio, supponiamo che lo spazio campionario S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Siano A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} e C = {7, 9}.

Se non è noto se A e B si escludono a vicenda, supponi che non lo siano finché non puoi dimostrare il contrario. I seguenti esempi illustrano queste definizioni e termini.

Esempio 3

Lancia due monete equilibrate. (Questo è un esperimento.)

Lo spazio campione è {HH, HT, TH, TT} dove T = code e H = teste. I possibili risultati sono HH, HT, TH e TT. I risultati HT e TH sono diversi. Il HT significa che la prima moneta mostrava testa e la seconda moneta mostrava croce. Il TH significa che la prima moneta ha mostrato croce e la seconda moneta ha mostrato una testa.

Esempio 4

Lancia due monete buone.Trova le probabilità degli eventi.

1. Sia F = l’evento di ottenere al massimo una coda (zero o una coda).
2. Sia G = l’evento di ottenere due facce uguali.
3. Sia H = l’evento in cui si ottiene una testa al primo capovolgimento seguito da una testa o una coda al secondo capovolgimento.
4. F e G si escludono a vicenda ?
5. Sia J = l’evento di ottenere tutte le code. J e H si escludono a vicenda?

Questo video fornisce altri due esempi per trovare la probabilità di eventi che si escludono a vicenda.

Esempio 5

Lancia un dado chiaro a sei facce. Lo spazio campione è {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lascia che l’evento
A = una faccia sia dispari. Allora A = {1, 3, 5}. Sia l’evento B = una faccia è pari. Allora B = {2, 4, 6}.

Esempio 6

Suggerimento: se G e H sono indipendenti, allora devi mostrare UNO dei seguenti:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G AND H) = P (G) P ( H)

Dato che G e H sono indipendenti, sapere che una persona sta frequentando un corso di scienze non cambia la possibilità che stia frequentando un corso di matematica. Se i due eventi non fossero stati indipendenti (ovvero, sono dipendenti), sapere che una persona sta frequentando un corso di scienze cambierebbe la possibilità che stia studiando matematica.

Esempio 7

Lascia che l’evento C = prendere una lezione di inglese. Sia l’evento D = prendere una lezione di discorso.

Supponiamo che P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 e P (C AND D) = 0,225.

Giustifica numericamente le tue risposte alle seguenti domande.

Esempio 8

In una casella ci sono tre cartellini rossi e cinque cartellini blu. Le carte rosse sono contrassegnate con i numeri 1, 2 e 3, e le carte blu sono contrassegnate con i numeri 1, 2, 3, 4 e 5. Le carte sono ben mescolate. Raggiungi la scatola (non puoi vedere dentro) e pesca una carta.

Lascia che R = venga pescata la carta rossa, B = la carta blu sia estratta, E = venga estratta una carta con numero pari.

Lo spazio campionario S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S ha otto risultati.

Esempio 9

In una particolare classe universitaria, il 60% della st gli udenti sono femmine. Il cinquanta per cento di tutti gli studenti della classe ha i capelli lunghi. Il quarantacinque per cento degli studenti sono donne e hanno i capelli lunghi. Delle studentesse, il 75% ha i capelli lunghi. Sia F l’evento in cui uno studente è una donna. Sia L l’evento in cui uno studente ha i capelli lunghi. Uno studente viene scelto a caso. Gli eventi di essere donna e avere i capelli lunghi sono indipendenti?

• In questo esempio vengono fornite le seguenti probabilità:
• P (F) = 0.60; P (L) = 0,50
• P (F AND L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretazione dei risultati

Gli eventi di essere donne e avere i capelli lunghi non sono indipendenti; sapere che uno studente è una donna cambia la probabilità che uno studente abbia i capelli lunghi.

Esempio 10

Dati di Gallup. Disponibile online su www.gallup.com/ (consultato il 2 maggio 2013).

Concept Review

Due eventi A e B sono indipendenti se la conoscenza che si è verificato non influisce sul possibilità che si verifichi l’altro. Se due eventi non sono indipendenti, allora diciamo che sono dipendenti.

Nel campionamento con sostituzione, ogni membro di una popolazione viene sostituito dopo che è stato scelto, in modo che quel membro abbia la possibilità di essere scelto più di una volta e gli eventi sono considerati indipendenti. Nel campionamento senza sostituzione, ogni membro di una popolazione può essere scelto una sola volta e gli eventi sono considerati non indipendenti. Quando gli eventi non condividono i risultati, si escludono a vicenda.

Formula Review

Se A e B sono indipendenti, P (A AND B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) e P (B | A) = P (B).

Se A e B si escludono a vicenda, P (A OR B) = P (A) + P (B) e P (A AND B) = 0.