AlgebraEdit

GroupsEdit

グループG {\ displaystyleG}とフィルタリングGn {\ displaystyle G_ {n}}が与えられた場合、G {\ displaystyleG}にトポロジを定義する自然な方法があります。濾過。このトポロジーの基礎は、フィルターに現れるサブグループのすべての変換のセットです。つまり、G {\ displaystyle G}のサブセットは、G n {\の形式のセットの和集合である場合に開いていると定義されます。 displaystyle aG_ {n}}、ここで、a∈G{\ displaystyle a \ inG}およびn {\ displaystylen}は自然数です。

グループG {\のフィルタリングに関連付けられたトポロジdisplaystyle G}は、G {\ displaystyleG}をトポロジカルグループにします。

リングとモジュール：降順のfilterationsEdit

リングR {\ displaystyleR}とR {\ displaystyleを指定します。 R} -module M {\ displaystyle M}、M {\ displaystyle M}の降順フィルタリングは、サブモジュールM n {\ displaystyle M_ {n}}の降順シーケンスです。したがって、これはグループの概念の特殊なケースであり、サブグループがサブモジュールであるという追加の条件があります。関連するトポロジはグループの場合と同様に定義されます。

リングとモジュール：昇順のフィルタリング編集

セットの編集

測定理論の編集

t1≤t2⟹Ft1⊆Ft2。 {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implies {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}。}

「時間」t {\ displaystyle t}の正確な範囲は、通常、コンテキストによって異なります。t{\ displaystyle t}の値のセットは、離散的または連続的、制限付きまたは制限なしの場合があります。たとえば、

t∈{0、1、…、N}、N 0、または{\ mbox {または}} [0、+ \ infty）。}F∞=σ（⋃t≥0Ft ）⊆F。 {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left（\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right）\ subseteq {\ mathcal { F}}。}

σ代数は、測定可能なイベントのセットを定義します。これは、確率のコンテキストでは、識別可能なイベント、または「時間tで回答できる質問{\ displaystyle t } “。したがって、フィルタリングは、情報の獲得または喪失を通じて測定できる一連のイベントの変化を表すためによく使用されます。典型的な例は数理ファイナンスです。ここでは、フィルタリングはt {\ displaystyle t}までの各時間までに利用可能な情報を表し、より多くの情報としてより正確になります（測定可能なイベントのセットは同じまたは増加します）株価の変化から利用可能になります。

停止時間との関係：停止時間sigma-algebrasEdit

Fτ ：= {A∈F：A∩{τ≤t}∈Ft、∀t≥0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}：= \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}：A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}、\ \ forall t \ geq 0 \ right \}}。