ピタゴラス平均編集

算術平均（AM）編集

x¯= 1 n（∑ i = 1 nxi）= x 1 + x 2 +⋯+ xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left（ \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right）= {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

たとえば、4、36、45、50、75の5つの値の算術平均は次のとおりです。

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42。{\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42。}

算術平均（GM）編集

算術平均は正の数のセットに役立つ平均。これは、合計（算術平均の場合のように）ではなく、積（成長率の場合のように）に従って解釈されます。

x¯=（ ∏i = 1 nxi）1 n =（x 1 x2⋯xn）1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left（\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right）^ {\ frac {1} {n}} = \ left（x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right）^ {\ frac {1} {n}}}

たとえば、算術平均5つの値のn：4、36、45、50、75は次のとおりです：

（4×36×45×50×75）1 5 = 24 300 000 5 = 30。{\ displaystyle（4 \ times 36 \倍45 \回50 \回75）^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30。}

調和平均（HM）編集

調和平均は、速度（つまり、単位時間あたりの距離）の場合のように、ある単位に関連して定義される数値のセットに役立つ平均です。

x¯= n （∑ i = 1 n 1 xi）− 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left（\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right）^ {-1}}

たとえば、4、36、45、50、75の5つの値の調和平均は

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15。}

AM、GM、およびHMEditの関係

AM、GM、およびHMは次の不等式を満たします：

AM≥GM≥HM{\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \、}

指定されたサンプルのすべての要素が等しい場合にのみ、同等性が保持されます。

統計的位置編集

記述統計では、平均は中央値、モード、または中間範囲と混同される可能性があります。これらはいずれも「平均」（より正式には、また、中心的傾向の指標（英語版）もある。観測値の平均はその値の算術平均である。しかし、歪度分布の場合、平均値は必ずしも中間値（中央値）や最も可能性の高い値（最頻値）とは限らない。例えば、平均収入は典型的には、非常に大きな収入を持つ少数の人々によって上方に歪められているため、その大多数は平均よりも収入が低い。対照的に、中央値は人口の半分が下で、半分が上の水準である。モードインカムは最も可能性の高い収入であり、インカムが低い人よりも多くの人を好む。中央値とモードは、このような偏ったデータのより直感的な尺度であることがよくありますが、多くの偏った分布は、実際には、指数分布やポアソン分布など、平均によって最もよく説明されます。

確率分布の平均編集

確率分布の平均は、その分布を持つ確率変数の長期的な算術平均値です。確率変数がX {\ displaystyle X}で表される場合、X {\ displaystyle X}の期待値（E（X）{\ displaystyle E（X）}で表される）としても知られています。離散確率分布の場合、平均は∑ x P（x）{\ displaystyle \ textstyle \ sum xP（x）}で与えられます。ここで、合計は確率変数のすべての可能な値とP（x）{\ displaystyle P（x）}は確率質量関数です。連続分布の場合、平均は∫−∞∞xf（x）dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xf（x）\、dx}、ここでf（x）{ \ displaystyle f（x）}は確率密度関数です。分布が離散でも連続でもない場合を含め、すべての場合において、平均は、確率測度に関する確率変数のルベーグ積分である。平均は存在する必要も有限である必要もありません。一部の確率分布では、平均は無限大（+∞または-∞）ですが、他の確率分布では、平均は未定義です。

一般化平均編集

電力平均編集

一般化平均は、パワー平均またはヘルダー平均とも呼ばれ、2次平均、算術平均、幾何平均、調和平均を抽象化したものです。これは、n個の正の数xiのセットに対して

x¯（m）=（1 n ∑ i = 1 nxim）1 m {\ displaystyle {\ bar {x}}（m）= \ left（ {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right）^ {\ frac {1} {m}}}

パラメータmの値が異なると、次のタイプの平均が得られます。

f-meanEdit

これは、一般化されたf-mean

x¯=としてさらに一般化できます。 f − 1（1 n ∑ i = 1 nf（xi））{\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {-1} \ left（{{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left（x_ {i} \ right）}} \ right）}

また、反転可能なfを適切に選択すると、

加重算術平均が得られます。

同じ母集団の異なるサイズのサンプルからの平均値を組み合わせたい場合は、加重算術平均（または加重平均）が使用されます。

x¯= ∑ i = 1nwixi¯∑ i = 1nwi。 {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}。}

切り捨てられたmeanEdit

場合によっては、数値のセットに外れ値（つまり、データ値がはるかに低いまたははるかに高い）が含まれていることがあります。その他）。多くの場合、外れ値はアーチファクトによって引き起こされる誤ったデータである。この場合、切り捨てられた平均を使用することができる。これは上端または下端で与えられたデータの一部を破棄することに関係している。削除された値の数は、値の総数のパーセンテージとして示されます。

四分位平均編集

四分位平均は、トリム平均の特定の例です。これは、値の最小と最大の4分の1を削除した後の単純な算術平均です。

x¯= 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \！\！x_ {i} }

値が順序付けられていると仮定すると、特定の重みのセットの加重平均の特定の例にすぎません。

関数の平均編集

状況によっては、数学者は無限の（または数えられない）値のセットの平均を計算する場合があります。これは、関数f（x）{\ displaystyle f（x）}の平均値y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}}を計算するときに起こることがある。直感的には、関数の平均は曲線のセクションの下の面積を計算し、そのセクションの長さで割ると考えることができる。これはグラフ用紙上の四角形を数えることで大まかに、あるいはより正確には積分によって行うことができる。積分式は次のように記述されます。

y ave（a、b）= 1 b −a∫abf（x）dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}（a、b）= {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \！f（x）\、dx}

この場合、積分が収束するように注意する必要があります。ただし、関数自体が一部の点で無限大になる傾向がある場合でも、平均は有限である可能性があります。

角度と周期的量の平均編集

角度、時刻、およびその他の周期的量にはモジュラーが必要です数値を加算または結合するための算術。これら全ての状況において、固有の意味は存在しない。例えば、真夜中の前後1時間の時間は真夜中と正午の両方に等距離である。また、平均が存在しない可能性もある。カラーホイールについて考えてみよう – すべての色の集合に意味はない。このような状況では、どちらの平均が最も役立つかを決定しなければならない。これを行うには、平均化する前に値を調整するか、循環量の平均に特化したアプローチを使用します。

フレシェ平均編集

フレシェ平均は、「表面またはより一般的にはリーマン多様体上の質量分布の中心」。他の多くの平均とは異なり、フレシェ平均は、要素を必ずしも加算したり、スカラーで乗算したりする必要がない空間で定義されます。これは、ケルヒ平均（ヘルマンケルヒにちなんで名付けられた）とも呼ばれます。

Swanson ” ■ruleEdit

これは、適度に歪んだ分布の平均の近似値です。これは、炭化水素探査で使用され、次のように定義されます。

m = 0.3 P 10 + 0.4 P 50 + 0.3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

ここで、P10、P50、およびP90は、分布の10、50、および90パーセンタイルです。

その他の手段編集