独立したものと相互に排他的なものは、同じことを意味するわけではありません。

独立したイベント

次の場合、2つのイベントは独立しています。真：

• P（A | B）= P（A）
• P （B | A）= P（B）
• P（A AND B）= P（A）P（B）

2つのイベントAとBは、一方が発生したという知識が他方が発生する可能性に影響を与えない場合、独立しています。たとえば、フェアダイの2つの役割の結果は、独立したイベントです。最初のロールの結果は、2番目のロールの結果の確率を変更しません。 2つのイベントが独立していることを示すには、上記の条件の1つだけを表示する必要があります。

2つのイベントが独立していない場合、それらは依存していると言います。

サンプリングが行われる場合があります。置換ありまたは置換なし。

• 置換あり：母集団の各メンバーが選択された後に置換された場合、そのメンバーは複数回選択される可能性があります。サンプリングが置換で行われる場合、イベントは独立していると見なされます。つまり、最初のピックの結果が2番目のピックの確率を変更することはありません。
• 置換なし：サンプリングが置換なしで行われる場合、それぞれ集団のメンバーは一度だけ選択できます。この場合、2番目のピックの確率は、最初のピックの結果の影響を受けます。イベントは依存しているか、独立していないと見なされます。

AとBが独立しているか依存しているかがわからない場合は、別の方法で表示できるまで依存していると見なします。

1. 交換付きのサンプリング：交換用のカードを3枚選んだとします。 52枚のカードから最初に選ぶカードは
   スペードのQです。このカードを元に戻し、カードを再シャッフルして、52枚のカードデッキから2枚目のカードを選びます。クラブの10です。このカードを元に戻し、カードを再シャッフルし、52枚のカードデッキから3枚目のカードを選びます。今回もスペードのQです。あなたのピックは{スペードのQ、クラブの10、スペードのQ}です。スペードのQを2回選びました。 52枚のカードデッキから各カードを選びます。
2. 交換なしのサンプリング：交換なしで3枚のカードを選んだとします。 52枚のカードから最初に選ぶカードは
   ハートのKです。このカードを脇に置き、デッキに残っている51枚のカードから2枚目のカードを選びます。ダイヤモンドの3つです。このカードを脇に置き、デッキの残りの50枚のカードから3枚目のカードを選びます。 3枚目のカードはスペードのJです。あなたのピックは{ハートのK、ダイヤモンドの3つ、スペードのJ}です。交換せずにカードを選んだので、同じカードを2回選ぶことはできません。

例1

1. 選んだカードがQであることがわかっているとします。スペード、ハートのK、スペードのQ。サンプリングが置換ありかなしかを判断できますか？
   回答を表示

   置換ありのサンプリング

2. 選択したカードがスペードのQ、ハートのK、スペードのJであることがわかっているとします。サンプリングが置換の有無を判断できますか？
   回答を表示

   いいえ、サンプリングの有無はわかりません。交換。

例2

1. 4枚のカードを選び、デッキにカードを戻さないとします。カードはQS、1D、1C、QDです。
2. 次のカードを選ぶ前に、4枚のカードを選び、各カードを元に戻すとします。カードはKH、7D、6D、KHです。

交換してサンプリングしたのは1つか2つで、交換せずにサンプリングしたのはどれですか？

このビデオでは、独立したイベントの確率を見つける方法について簡単に説明します。

相互に排他的なイベント

AとBは、同時。これは、AとBが結果を共有せず、P（A AND B）= 0であることを意味します。

たとえば、サンプル空間S = {1、2、3、4、5、6、 7、8、9、10}。
A = {1、2、3、4、5}、B = {4、5、6、7、8}、C = {7、9}とします。

AとBが相互に排他的であるかどうかがわからない場合は、そうでないことを示すことができるまで、相互に排他的ではないと想定します。次の例は、これらの定義と用語を示しています。

例3

2つの公正なコインを裏返します。 （これは実験です。）

サンプル空間は{HH、HT、TH、TT}で、T =テール、H =ヘッドです。考えられる結果は、HH、HT、TH、およびTTです。 HTとTHの結果は異なります。 HTは、最初のコインが表を示し、2番目のコインが尾を示したことを意味します。 THは、最初のコインが尾を示し、2番目のコインが頭を示したことを意味します。

例4

2つの公正なコインを裏返します。イベントの確率を見つけます。

1. F =最大で1つのテール（ゼロまたは1つのテール）を取得するイベントとします。
2. G = 2つを取得するイベントとします。同じ顔。
3. H =最初のフリップで頭を取得し、次に2番目のフリップで頭または尾を取得するイベントとします。
4. FとGは相互に排他的ですか？
5. J =すべてのテールを取得するイベントとします。 JとHは相互に排他的ですか？

このビデオでは、相互に排他的なイベントの確率を見つける2つの例を示します。

例5

フェアな6面ダイスを1つロールします。サンプル空間は{1、2、3、4、5、6}です。イベント
A =顔が奇数であるとします。次に、A = {1、3、5}。イベントB =顔が偶数であるとします。次に、B = {2、4、6}。

例6

ヒント：GとHが独立している場合は、次のいずれかを表示する必要があります。

• P（G | H）= P（G）
• P（H | G）= P（H）
• P（G AND H）= P（G）P（ H）

GとHは独立しているため、理科の授業を受けていることを知っていても、数学の授業を受ける可能性は変わりません。 2つのイベントが独立していなかった場合（つまり、依存している場合）、ある人が理科の授業を受けていることを知っていると、数学を取っている可能性が変わります。

例7

イベントC =英語の授業を受けるようにします。イベントD =スピーチクラスを受講するとします。

P（C）= 0.75、P（D）= 0.3、P（C | D）= 0.75、P（C AND D）= 0.225と仮定します。

次の質問に対する答えを数値で説明してください。

例8

ボックスには、3枚の赤いカードと5枚の青いカードがあります。赤いカードには1、2、3の数字が付いており、青いカードには1、2、3、4、5の数字が付いています。あなたは箱に手を伸ばし（あなたはそれを見ることができません）、1枚のカードを引きます。

R =赤いカードを引き、B =青いカードを引き、E =偶数のカードを引きます。

p>

サンプル空間S = R1、R2、R3、B1、B2、B3、B4、B5。 Sには8つの結果があります。

例9

特定の大学のクラスでは、stの60％ udentsは女性です。クラスの全生徒の50パーセントは長い髪をしています。学生の45％は女性で、髪は長いです。女子学生の75％は髪が長い。 Fを学生が女性であるというイベントとします。 Lを学生の髪の長いイベントとします。 1人の学生がランダムに選ばれます。女性であり、長い髪のイベントは独立していますか？

• この例では、次の確率が示されています。
• P（F）= 0.60; P（L）= 0.50
• P（F AND L）= 0.45
• P（L | F）= 0.75

結果の解釈

女性であり、髪が長いという出来事は独立していません。学生が女性であることを知っていると、学生が長い髪をしている確率が変わります。

例10

Gallupのデータ。 www.gallup.com/（2013年 5月2日アクセス）からオンラインで入手できます。

コンセプトレビュー

2つのイベントAとBは、発生したという知識が他が発生する可能性があります。 2つのイベントが独立していない場合、それらは依存していると言います。

置換によるサンプリングでは、母集団の各メンバーは、選択された後に置換されるため、メンバーがより多く選択される可能性があります。一度、イベントは独立していると見なされます。置換なしのサンプリングでは、母集団の各メンバーは1回だけ選択でき、イベントは独立していないと見なされます。イベントが結果を共有しない場合、それらは相互に排他的です。

式のレビュー

AとBが独立している場合、P（A AND B）= P（A）P （B）、P（A | B）= P（A）およびP（B | A）= P（B）。

AとBが相互に排他的である場合、P（A OR B）= P（A）+ P（B）およびP（A AND B）= 0。