非常に長い均一に帯電したワイヤーエディットの近くの電界

これまで見てきたように、点電荷の周りの電界は球対称であり、に反比例します。距離の2乗。一見の価値がある他の2つの幾何学的構成があります。

均一に分布した電荷の「無限に長い」線形コレクション（つまり、長い電荷を帯びたワイヤー）がある場合、次のように決定できます。積分による近くの電界。単位長さあたりの電荷を1メートルあたりλ{\ displaystyle \ lambda}クーロンとします。

ワイヤから距離b {\ displaystyle b}の特定の点で、電界への寄与長さdℓ{\ displaystyle d \ ell}のワイヤーの極小セクションからは次のようになります。

dq4πϵ R 2 = λdℓ4πϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

ワイヤーから垂直に離れる方向を指すそのベクトルの成分は次のとおりです。

λ4πϵR2sin⁡ θdℓ= λb4πϵR3dℓ= λb4πϵ（b 2 +ℓ2）3 /2dℓ{\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \、{ \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \、（b ^ {2} + \ ell ^ {2}）^ {3/2}}} d \ ell}λb4π ϵ∫−∞∞dℓ（b 2 +ℓ2）3/2 = λb4πϵ1b2ℓb2 +ℓ2| −∞∞ = λ2πϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { （b ^ {2} + \ ell ^ {2}）^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left。{\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {-\ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \、b}}}

フィールドはワイヤから垂直に離れる方向を指し、分離距離の1乗に反比例します。

ワイヤーは無限に長くする必要がありますか？番号;これは、無限限界の近似値にすぎません。ワイヤの長さよりもワイヤにはるかに近い限り、近似は適切です。

非常に大きな均一に帯電した平面の近くの電界編集

もう1つの非常に重要な幾何学的構成は、均一な電荷分布を持つ「無限に大きい」平面です。平面を幅dlの多数の薄い平行なストリップに分割します。平面の単位面積あたりの電荷密度がσ{\ displaystyle \ sigma}クーロン/平方メートルの場合、それぞれストリップの線形電荷密度は

λ=σdℓ{\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \、}

クーロン/メートルです。

次の結果を使用します。前のセクション、および本質的に同じ図。ストリップは現在、ページ/画面に出入りしており、ストリップの断面は図の左から右に表示されます。関心のあるポイントのフィールドは次のとおりです。

λ2πϵ R = σ2πϵRdℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R}}}} d \ ell}

上向きの成分（対称性により、フィールド全体は垂直に外側を指します。平面）は次のとおりです。

σ2πϵRsin⁡θdℓ = σR2πϵ R2dℓ= σb2πϵ（b 2 +ℓ2）dℓ{\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \、{\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon（b ^ {2} + \ ell ^ {2}）}} \ d \ ell}

フィールドの上向き成分の合計は、次を積分することによって得られます。

E = σb2πϵ∫−∞∞dℓb 2 +ℓ2= σ2πϵtan −1⁡ℓb | −∞∞ = σ2ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left。\ tan ^ {-1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {-\ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

フィールドは平面から垂直に離れる方向を指し、分離距離とは無関係です。つまり、平面に非常に近く、ほぼ無限に見える限り、独立しています。

アプリケーション：平行平板コンデンサ内の電界編集

ニュートンの法則では、正味の力はすべての力の合計、ma =ΣFj（jの合計）であると想定しています。電界Eは、次のように定義されます。 F = qEによるクーロンの法則では、考えられる最も単純な仮定は、電界が各電荷による個々の電界の合計であるというものです。これは重ね合わせ（または線形重ね合わせ）と呼ばれる原理であり、少なくとも原子核よりも小さいサイズまで保持されます。実際、線電荷と表面電荷による電界を得るために積分することにより、暗黙的に重ね合わせを想定しています。図に示すように、電界はプレート間のスペースに建設的に追加されます。それらは2つのプレートの外側で破壊的に加算（つまり減算）し、ゼロ電界に加算します。 したがって、プレート間の電界は

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)

です。