AlgebraEdit

GroupsEdit

그룹 G {\ displaystyle G} 및 필터링 G n {\ displaystyle G_ {n}}을 감안할 때 G {\ displaystyle G}에 토폴로지를 정의하는 자연스러운 방법이 있습니다. 여과법. 이 토폴로지의 기반은 필터링에 나타나는 하위 그룹의 모든 변환 집합입니다. 즉, G {\ displaystyle G}의 하위 집합이 a G n {\ 형식의 집합 집합 인 경우 개방되도록 정의됩니다. displaystyle aG_ {n}}, 여기서 ∈ G {\ displaystyle a \ in G} 및 n {\ displaystyle n}은 자연수입니다.

그룹 G {\의 필터링과 관련된 토폴로지 displaystyle G}는 G {\ displaystyle G}를 토폴로지 그룹으로 만듭니다.

링 및 모듈 : 내림차순 필터링 편집

링 R {\ displaystyle R} 및 R {\ displaystyle R} -module M {\ displaystyle M}, M {\ displaystyle M}의 내림차순 필터링은 하위 모듈 M n {\ displaystyle M_ {n}}의 감소 시퀀스입니다. 따라서 이것은 하위 그룹이 하위 모듈이라는 추가 조건이있는 그룹 개념의 특별한 경우입니다. 관련 토폴로지는 그룹에 대해 정의됩니다.

링 및 모듈 : 오름차순 여과 편집

SetsEdit

이론 측정 편집

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implies {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

“times”t {\ displaystyle t}의 정확한 범위는 일반적으로 컨텍스트에 따라 달라집니다. t {\ displaystyle t}에 대한 값 집합은 불연속 적이거나 연속적이거나 경계가 있거나 제한이 없을 수 있습니다. 예 :

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0, 또는 {\ mbox {또는}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

σ- 대수는 측정 할 수있는 일련의 사건을 정의합니다. 확률 적 맥락에서 식별 할 수있는 사건 또는 “시간 t {\ displaystyle t에 답변 할 수있는 질문과 동일합니다.” } “. 따라서 필터링은 정보 획득 또는 손실을 통해 측정 할 수있는 이벤트 집합의 변화를 나타내는 데 자주 사용됩니다. 전형적인 예는 수학적 금융에서, 필터링은 매번 t {\ displaystyle t}를 포함하여 사용할 수있는 정보를 나타내며, 더 많은 정보가있을수록 점점 더 정확 해집니다 (측정 가능한 이벤트 세트는 동일하게 유지되거나 증가 함). 주가의 진화에서 사용할 수있게됩니다.

중지 시간과의 관계 : 중지 시간 sigma-algebras 편집

F τ : = {A ∈ F : A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau} : = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}} : A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}