Pythagorean MeansEdit

Arithmetic Mean (AM) Edit

x ¯ = 1n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

예를 들어 5 개 값의 산술 평균 : 4, 36, 45, 50, 75는 다음과 같습니다.

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

기하 평균 (GM) 편집

기하 평균은 평균 (산술 평균의 경우와 같이)이 아니라 제품 (성장률의 경우)에 따라 해석되는 양수 세트에 유용한 평균 :

x ¯ = ( ∏ i = 1nxi) 1n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ 오른쪽) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ 오른쪽) ^ {\ frac {1} {n}}}

예 : 기하학적 측정 5 개 값 중 n : 4, 36, 45, 50, 75는 다음과 같습니다.

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ times 36 \ times 45 \ times 50 \ times 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

고조파 평균 (HM) Edit

고조파 평균은 속도 (즉, 단위 시간당 거리)의 경우와 같이 특정 단위와 관련하여 정의 된 숫자 집합에 유용한 평균입니다.

x ¯ = n (∑ i = 1n 1 xi) − 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {-1}}

예를 들어 5 개 값 4, 36, 45, 50, 75의 조화 평균은

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

AM, GM 및 HMEdit 간의 관계

AM, GM 및 HM은 다음 부등식을 충족합니다.

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

주어진 샘플의 모든 요소가 동일한 경우에만 동등성이 유지됩니다.

통계적 위치 편집

기술 통계에서 평균은 평균, 모드 또는 중간 범위와 혼동 될 수 있습니다. 이들 중 하나는 “평균”(보다 공식적으로는 a 중심 경향 측정). 일련의 관측 값의 평균은 값의 산술 평균입니다. 그러나 치우친 분포의 경우 평균이 반드시 중간 값 (중앙값) 또는 가장 가능성이 높은 값 (모드)과 같을 필요는 없습니다. 예를 들어, 평균 소득은 일반적으로 소득이 매우 큰 소수의 사람들에 의해 위쪽으로 치우쳐 져 대다수의 소득이 평균보다 낮습니다. 대조적으로 중간 소득은 인구의 절반이 아래에 있고 절반이 위에있는 수준입니다. 모드 소득은 가장 가능성이 높은 소득이며 소득이 낮은 많은 사람들에게 유리합니다. 중앙값과 최빈값은 이러한 치우친 데이터에 대해 더 직관적 인 척도 인 경우가 많지만 실제로 대부분의 치우친 분포는 지수 분포와 포아송 분포를 포함한 평균으로 가장 잘 설명됩니다.

확률 분포의 평균 편집

확률 분포의 평균은 해당 분포를 갖는 랜덤 변수의 장기 산술 평균값입니다. 랜덤 변수가 X {\ displaystyle X}로 표시되는 경우 X {\ displaystyle X}의 예상 값이라고도합니다 (E (X) {\ displaystyle E (X)}). 이산 확률 분포의 경우 평균은 ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}로 주어집니다. 여기서 합은 확률 변수와 P (x) {\의 가능한 모든 값을 차지합니다. displaystyle P (x)}는 확률 질량 함수입니다. 연속 분포의 경우 평균은 ∫ − ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}입니다. 여기서 f (x) { \ displaystyle f (x)}는 확률 밀도 함수입니다. 분포가 불연속 적이거나 연속적이지 않은 경우를 포함하여 모든 경우에서 평균은 확률 측도에 대한 확률 변수의 Lebesgue 적분입니다.평균은 존재하거나 유한 할 필요가 없습니다. 일부 확률 분포의 경우 평균은 무한대 (+ ∞ 또는 −∞)이고 다른 경우에는 평균이 정의되지 않습니다.

일반화 평균 편집

검정력 평균 편집

전력 평균 또는 Hölder 평균이라고도하는 일반화 평균은 2 차, 산술, 기하학적 및 조화 평균의 추상화입니다. n 개의 양수 xi에 대해 정의됩니다.

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

선택 매개 변수 m에 대해 서로 다른 값, 다음과 같은 유형의 평균을 얻습니다.

f-meanEdit

이것은 일반화 된 f- 평균으로 더 일반화 할 수 있습니다.

x ¯ = f − 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {-1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

다시 적절한 반전 f를 선택하면

가중 산술 평균을 얻을 수 있습니다.

가중 산술 평균 (또는 가중 평균)은 동일한 모집단의 서로 다른 크기 샘플의 평균 값을 결합하려는 경우 사용됩니다.

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

잘린 meanEdit

때때로 숫자 집합에 이상 값이 포함될 수 있습니다 (즉, 데이터 값이 기타). 종종 이상 값은 아티팩트로 인한 잘못된 데이터입니다. 이 경우 잘린 평균을 사용할 수 있습니다. 여기에는 상단 또는 하단에있는 데이터의 특정 부분 (일반적으로 각 끝에서 동일한 양)을 폐기 한 다음 나머지 데이터의 산술 평균을 취하는 것이 포함됩니다. 제거 된 값의 수는 총 값 수의 백분율로 표시됩니다.

사 분위 간 평균 편집

사 분위 간 평균은 잘린 평균의 특정 예입니다. 값의 가장 낮은 1/4과 가장 높은 1/4을 제거한 후의 산술 평균입니다.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! x_ {i} }

값이 정렬되었다고 가정하면 특정 가중치 집합에 대한 가중치 평균의 특정 예일뿐입니다.

함수 평균 편집

경우에 따라 수학자는 무한한 (또는 심지어 셀 수없는) 값 집합의 평균을 계산할 수 있습니다. 이것은 함수 f (x) {\ displaystyle f (x)}의 평균값 y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}}를 계산할 때 발생할 수 있습니다. 직관적으로 함수의 평균은 곡선 섹션 아래의 면적을 계산 한 다음 해당 섹션의 길이로 나누는 것으로 생각할 수 있습니다. 이것은 모눈 종이에 사각형을 세어 조잡하게 할 수 있고, 더 정확하게는 적분으로 할 수 있습니다. 적분 공식은 다음과 같이 작성됩니다.

y ave (a, b) = 1 b − a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! f (x) \, dx}

이 경우 적분이 수렴하도록주의해야합니다. 그러나 함수 자체가 일부 지점에서 무한대가되는 경향이 있어도 평균은 유한 할 수 있습니다.

각도 및 순환 수량의 평균 편집

각도, 시간 및 기타 순환 수량에는 모듈식이 필요합니다. 숫자를 더하거나 결합하는 산술. 이러한 모든 상황에서 고유 한 수단은 없습니다. 예를 들어, 자정 전후의 시간은 자정과 정오 모두와 같은 거리에 있습니다. 평균이 존재하지 않을 수도 있습니다. 색상환을 고려하십시오. 모든 색상 세트에 의미가 없습니다. 이러한 상황에서 가장 유용한 평균을 결정해야합니다. 평균화하기 전에 값을 조정하거나 순환 수량의 평균에 대한 특수 접근 방식을 사용하여이를 수행 할 수 있습니다.

Fréchet meanEdit

Fréchet 평균은 “를 결정하는 방법을 제공합니다. 표면의 질량 분포 또는보다 일반적으로 리만 매니 폴드의 중심 “. 다른 많은 수단과 달리 Fréchet 평균은 요소를 반드시 함께 더하거나 스칼라로 곱할 수없는 공간에 정의됩니다. 때때로 Karcher 평균 (Hermann Karcher의 이름을 따서 명명)이라고도합니다.

Swanson ” s ruleEdit

이것은 적당히 치우친 분포에 대한 평균에 대한 근사치입니다. 탄화수소 탐사에 사용되며 다음과 같이 정의됩니다.

m = 0.3 P 10 + 0.4 P 50 + 0.3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

여기서 P10, P50 및 P90 분포의 10 번째, 50 번째 및 90 번째 백분위 수

기타 수단 편집