The Electric Field Near a Very Long Uniformly Charged WireEdit

지금까지 살펴본 바와 같이 점 전하 주변의 전기장은 구형 대칭이며 다음과 반비례합니다. 살펴볼 가치가있는 다른 두 가지 기하학적 구성이 있습니다.

균일하게 분포 된 전하 (즉, 긴 전하 와이어)의 “무한 긴”선형 집합이있는 경우 단위 길이 당 전하량을 미터당 λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs로 둡니다.

와이어로부터 거리 b {\ displaystyle b}에있는 주어진 지점에서 전기장에 대한 기여도 길이가 d ℓ {\ displaystyle d \ ell} 인 극소 단면의 와이어는 다음과 같습니다.

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ 파이 \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

와이어에서 수직으로 멀어지는 벡터의 구성 요소는 다음과 같습니다.

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3 / 2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ − ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3 / 2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | − ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {-\ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

필드는 와이어에서 수직으로 멀어지고 분리 거리의 첫 번째 거듭 제곱에 반비례합니다.

와이어가 무한히 길어야합니까? 아니; 이것은 무한한 한계에 대한 근사치입니다. 근사치는 와이어의 길이보다 와이어에 훨씬 더 가깝다면 좋습니다.

매우 큰 균일하게 충전 된 평면 근처의 전기장 편집

또 다른 매우 중요한 기하학적 구성 균일 한 전하 분포를 가진 “무한히 큰”평면입니다. 평면을 너비 dl의 여러 얇은 평행 스트립으로 나눕니다. 평면의 단위 면적당 전하 밀도가 σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs per square meter이면, 각각 스트립의 선형 전하 밀도는

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

미터당 쿨롱입니다.

우리는 이전 섹션 및 기본적으로 동일한 다이어그램입니다. 이제 스트립이 페이지 / 화면 안팎으로 실행되고 스트립 “횡단면이 다이어그램에서 왼쪽에서 오른쪽으로 나타납니다. 관심 지점의 필드는 다음과 같습니다.

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

상향 구성 요소 (대칭에 의해 전체 필드는 평면)은 다음과 같습니다.

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

장의 전체 상승 성분은 다음을 적분하여 얻습니다.

E = σ b 2 π ϵ ∫ − ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan − 1 ⁡ ℓ b | − ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {-1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {-\ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

필드는 평면에서 수직으로 떨어져 있으며 이격 거리와 무관합니다. 즉, 평면에 너무 가까워서 거의 무한한 것처럼 보이는 한 독립적입니다.

적용 : 평행 판 커패시터 내부의 전기장 편집

뉴턴의 법칙은 순 힘이 모든 힘의 합인 ma = ΣFj (j에 대한 합)라고 가정합니다. 전기장 E는 다음을 통해 정의됩니다. F = qE를 통한 쿨롱의 법칙에서 가장 간단한 가정은 전기장이 각 전하로 인한 개별 전기장의 합이라는 것입니다. 이것이 원리를 중첩 (또는 선형 중첩)이라고하며 적어도 원자핵보다 작은 크기로 유지됩니다. 사실, 우리는 라인과 표면 전하로 인한 전기장을 얻기 위해 적분함으로써 암시 적으로 중첩을 가정했습니다. 그림에서 볼 수 있듯이 전기장은 플레이트 사이의 공간에 건설적으로 추가됩니다.그들은 두 개의 플레이트 외부에 파괴적으로 추가 (즉, 빼기)하고 전기장을 0에 추가합니다. 따라서 판 사이의 전기장은

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)